Resimli Soru 03-04-2026 14:53:11

YKS TYT
1

image
image720×960 37.4 KB

2

a, b ve c pozitif tam sayıları için,

a^2 + b^2 = 58
b^2 + c^2 = 45
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, (a + c) \cdot b ifadesinin değeri kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Kareli ifadeler verilmiş, verilen denklemler kullanılarak a, b, c değerleri bulunacak, ardından istenen ifade hesaplanacak.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen denklemler

a^2 + b^2 = 58 \quad (1)
b^2 + c^2 = 45 \quad (2)

Adım 2 — İki denklemi çıkararak a^2 - c^2 bulunur
(1) - (2) yaparsak:

(a^2 + b^2) - (b^2 + c^2) = 58 - 45
a^2 - c^2 = 13

Adım 3 — a^2 - c^2 = (a-c)(a+c) = 13
Burada a ve c pozitif tam sayılar, ayrıca a+c ve a-c çift olmayan iki pozitif tam sayı olmalı. 13 asal olduğundan, olası çarpanlar:

(a - c) = 1 \quad \text{ve} \quad (a + c) = 13

Adım 4 — a ve c değerlerini bul

a + c = 13
a - c = 1

Bu iki denklemi toplarsak:

2a = 14 \Rightarrow a = 7

Çıkarırsak:

2c = 12 \Rightarrow c = 6

Adım 5 — b değerini bul
Denklemlerden (2) kullanarak hesaplayalım:

b^2 + c^2 = 45
b^2 + 6^2 = 45 \Rightarrow b^2 + 36 = 45 \Rightarrow b^2 = 9 \Rightarrow b = 3

Adım 6 — İstenen ifadeyi hesapla:

(a + c) \cdot b = 13 \times 3 = 39

:white_check_mark: CEVAP: 39 (D seçeneği)

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Kareli Terimler

  • Tanım: Bir sayının kendisiyle çarpımıdır, örneğin a^2 = a \times a.
  • Bu problemde: Toplamları verilen kareli terimlerden bilinmeyenler bulunmuştur.

2. İki Kare Farkı

  • Tanım: a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
  • Bu problemde: Verilen denklemlerin çıkarılması sonucu kullanıldı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kare farkını doğrudan a - c = 13 olarak almak

  • Hatalı: Kare farkı doğrudan fark olarak alınamaz.
  • Doğru: a^2 - c^2 = (a-c)(a+c) olarak açılmalı.
  • Neden yanlış: a^2 - c^2 ve a - c farklı ifadelerdir.
  • Düzeltme: Çarpanlarına ayırma kullanılmalı.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

a, b ve c pozitif tam sayıları için, a^2 + b^2 = 58 ve b^2 + c^2 = 45 eşitlikleri veriliyor. Buna göre, (a + c)\cdot b ifadesinin değeri kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Pozitif tam sayılar için olası kareleri kontrol ederiz: 1^2=1,\;2^2=4,\;3^2=9,\;4^2=16,\;5^2=25,\;6^2=36,\;7^2=49.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — a^2 + b^2 = 58 denkleminden olası kareleri incele
7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58
Buna göre olası çiftler: (a,b)=(7,3) veya (a,b)=(3,7).

Adım 2 — b^2 + c^2 = 45 denkleminden olası kareleri incele
6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45
Buna göre olası çiftler: (b,c)=(6,3) veya (b,c)=(3,6).

Adım 3 — Ortak b’yi belirle
Ortak b olmalıdır. Eğer b=6 olsaydı, ilk denklemde a^2=58-36=22 olur ki bu tam kare değildir; çelişki.
Dolayısıyla b=3 olmalıdır; bu durumda a=7 ve c=6.

Adım 4 — İstenen ifadeyi hesapla
(a+c)\cdot b = (7+6)\cdot 3 = 13\cdot 3 = 39

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Tam kareler

  • Tanım: Bir tam sayının karesi şeklinde olan sayılardır.
  • Bu problemde: 58 ve 45 toplamlarını oluşturan tam kare çiftlerini bulmak için kullanıldı.

2. Değişkenlerin ortaklığı

  • Tanım: İki denklemde aynı değişkenin aldığı değerin tutarlı olması gerekir.
  • Bu problemde: Ortak b değeri her iki denklemde de aynı olmalıdır; bu kısıt çözümü belirledi.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Ortak b’yi kontrol etmemek

  • Yanlış: İlk denklemden bir çözüm, ikinci denklemden başka bir çözüm seçip birleştirmek.
  • Doğru: Her iki denklemde de aynı b değerinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek.
  • Neden yanlış: Değişkenlerin aynı olması gerekir; farklı değerler tutarsızlığa yol açar.
  • Düzeltme: Ortak değişkenin her iki denklemde de aynı değeri alıp almadığını kontrol et.

:white_check_mark: CEVAP: 39

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: