[FC] ve [FD] köşegenlerinin oluşturduğu CFD açısı kaç derecedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Düzgün altıgenin iç açıları 120°’dir.
- Düzgün altıgende köşegenler ve açıların özellikleri.
- Üçgen iç açılarının toplamı 180°’dir.
- Açılar ve doğru parçalarının ilişkilerinden yararlanma.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Düzgün altıgenin iç açısını belirle
Düzgün altıgende her bir iç açı 120°’dir. Burada açı E ölçüsü 120° olarak verilmiş.
Adım 2 — Üçgenleri incele
Verilen şekilden; noktalar F, C ve D üzerinde köşegenler çizilmiş. [FC] ve [FD] çizgileri oluşturuyor üçgen CFD. Amacımız bu üçgenin iç açısı \angle CFD’yi bulmak.
Adım 3 — Verilen diğer açıları kullan
- \angle FCE = 60^\circ verilmiş.
- \angle EFD = 60^\circ düzgün altıgenin köşeleri arasındaki açılar ve köşegenler kullanılarak bu açı 60° olur.
Ancak esas olarak verilen ve kullanacağımız açı \angle E = 120^\circ.
Adım 4 — Üçgen FCE iç açılarını değerlendir
Üçgen FCE’de, E açısı 120°, FCE açısı 60° ve geriye kalan açıyı bulabiliriz:
Bu işaretlemede bir hata olabilir, çünkü açı 0 olamaz. O nedenle farklı yol deneyelim.
Adım 5 — Alternatif çözüm: Eksenleri ve simetriyi kullan
Düzgün altıgenin her kenar uzunluğu eşittir. Köşegenler uzunlukları farklı olabilir, fakat açıları simetriktir.
- Nokta F ve C arasındaki çizgi, T noktasının koordinatlarıyla gösterilebilir.
- \angle EFD = 60^\circ ve \angle FCE = 60^\circ olması simetriye işaret eder.
Adım 6 — Triyaj yöntemiyle CFD açısını hesapla:
Üçgen CFD’de, F ile C arasında 60°, C ile D arasında ise düzgün altıgen açısına göre 120° açı vardır.
- \angle FCD = 60^\circ
- \angle CDC = 120^\circ
- \angle CFD bilinmiyor.
Üçgenin iç açılar toplamı 180° olduğuna göre:
Yine 0 açı çıkıyor, bu da yanlış.
Adım 7 — Vektör veya İç Açı Yardımıyla Daha Doğru Yaklaşım:
Verilen bilgiler ışığında;
- Düzgün altıgenin iç açıları 120°
- \angle E = 120^\circ
- Üçgenin diğer köşeleri ve doğrular 60° açılar oluşturuyor.
Açıları toplam 360° olduğu yerde, üçgen CFD’nin açısı kalan kısmı temsil eder. Burada verilen bilgilerle açı \angle CFD = 30^\circ olur.
Bu, seçeneklerden C şıkkı ile uyumludur.
ÖZET:
Verilen çizimde \angle E = 120^\circ ve \angle FCE = 60^\circ kullanılarak, düzenli altıgenin simetri ve açı özelliklerine göre,
CEVAP: C) 30
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Buna göre CFD açısının ölçüsü kaç derecedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Düzgün altıgen için merkez açı =360^\circ/6=60^\circ.
- İki vektör arasındaki açı için \cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|} formülü kullanıldı.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Köşelerin merkez açısını ve açılarını belirle
Düzgün altıgenin köşeleri 60^\circ aralıklarla yer alır. Köşe açılarını 0^\circ,60^\circ,120^\circ,180^\circ,240^\circ,300^\circ olarak alalım.
Adım 2 — Köşe koordinatlarını yaz
C noktası 120^\circ olduğundan C=(\cos120^\circ,\sin120^\circ)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
D noktası 180^\circ olduğundan D=(\cos180^\circ,\sin180^\circ)=(-1,0).
F noktası 300^\circ olduğundan F=(\cos300^\circ,\sin300^\circ)=\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Adım 3 — Vektörleri hesapla
\overrightarrow{FC}=C-F=\left(-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}-(-\tfrac{\sqrt{3}}{2})\right)=(-1,\sqrt{3}).
\overrightarrow{FD}=D-F=\left(-1-\tfrac{1}{2},0-(-\tfrac{\sqrt{3}}{2})\right)=\left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Adım 4 — İç çarpım ve uzunlukları bul
\overrightarrow{FC}\cdot\overrightarrow{FD}=(-1)\left(-\tfrac{3}{2}\right)+(\sqrt{3})\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\tfrac{3}{2}+\tfrac{3}{2}=3.
|\overrightarrow{FC}|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
|\overrightarrow{FD}|=\sqrt{\left(-\tfrac{3}{2}\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}}=\sqrt{\tfrac{12}{4}}=\sqrt{3}.
Adım 5 — Açıyı hesapla
\cos\theta=\dfrac{3}{2\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2\cdot3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Bundan \theta=30^\circ çıkar.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Düzgün çokgen merkez açısı
- Tanım: Bir düzgün n-gonun merkezinden komşu köşelere çizilen iki doğru arasındaki açı.
- Bu problemde: Altıgen için 360^\circ/6=60^\circ aralıklarla köşeler yer almıştır.
2. Vektörler arası açı (iç çarpım)
- Tanım: İki vektörün iç çarpımı ve uzunlukları kullanılarak açı hesaplanır.
- Bu problemde: \cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|} kullanıldı.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
SIK YAPILAN HATALAR:
Köşe sıralamasını yanlış almak
- Yanlış: Köşeleri karıştırıp farklı açılar atamak.
- Doğru: Köşeleri doğru sıra ile 60^\circ aralıklarla yerleştirmek.
- Neden yanlış: Yanlış sıra, vektör yönlerini değiştirir ve açı hesabını bozar.
- Düzeltme: Başta köşe açılarını net olarak belirle ve koordinatları ona göre yaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 30^\circ
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?