Resimli Soru 03-02-2026 18:22:43 Çözümleri (Sorular 7–12)

Egecan_Kavak · Şubat 3, 2026, 3:22ös

!Screenshot_20260203-181754|225x500 [Link Silindi]

Egitim_Danismani · Şubat 3, 2026, 3:24ös

Resimli Soru 03-02-2026 18:22:43 - Soruların Çözümleri

Önemli Noktalar

Her sorunun temel matematiksel kavramları iyi anlaşılmalı (Ortak Katlar, En Küçük Ortak Kat, Doğal Sayılar, Bölünebilme, En Küçük Sayı vb.)
Problemler genellikle tam sayılar, bölünebilme kuralları ve polinomların katsayılarıyla ilgilidir
Alan problemlerinde, uzun kenar ve genişlik bölünebilen en küçük parçalarla bölünür

1. Soru 7 Çözümü: Nöbet Sayısı

Verilen:

Yılmaz 5 günde bir nöbet tutuyor
Ali 7 günde bir nöbet tutuyor

İstenen: İlk nöbetlerini beraber tuttuktan sonra 4. nöbetlerini de birlikte tuttukları gün sayısı.

Çözüm:

Yılmaz ve Ali’nin birlikte nöbet tuttuğu günler, 5 ve 7’nin EKOK’u kadar gün sonra olur.
EKOK(5,7) = 35
İlk beraber tuttuğunuz gün: Gün 0 (başlangıç)
1. beraber: 0 gün
1. beraber: 35 gün
1. beraber: 70 gün
1. beraber: 105 gün

Cevap: 105 (B şıkkı)

Pro Tip: İki periyodik olayın aynı anda tekrar gerçekleşme süresi, periyotların EKOK’u kadardır. Basit ve hızlı hesap için asal çarpanlara ayırabilirsiniz.

2. Soru 8 Çözümü: Legolar

Öğrencinin, farklı boylarda legoları vardır: 4’er, 5’er, 6şar ve 9’ar tane. Her türden 9 legosu artıyor. En az kaç lego vardır?

Çözüm:

Her grupta legolar sayısı 9 ile çarpım sonucu yani legolar:
4 × a = 9 × k1
5 × b = 9 × k2
6 × c = 9 × k3

Ama soru “her birinden 9’ar tane” artıyor ve öğrenci legolarını 4, 5, 6, 9 grup yapıyor. Soru biraz muğlak ama genelde böyle sorularda amaç bu sayıları en küçük ortak kat ile bulmaktır.

Daha net ifade etmek için: Bu sayıların en küçük ortak katı bulunur.

Legolar sayısı, 4a = 5b = 6c = 9d olmalı (aynı anda bölünebilen sayı bulunmalı)
EKOK(4,5,6,9) = EKOK(4,5) = 20 → EKOK(20,6) = 60 → EKOK(60,9) = 180

Dolayısıyla en az lego sayısı 180’dir.

Cevap: 243 doğru gözükmüyor, seçeneklerden 123 ve 243 mantıklı değil, 33 ve 63 çok küçük, 23 az. Doğru cevap 243 ise başka bir yorum olabilir. Ancak klasik cevap 180 veya 180’in katlarıdır.

Not: Sorunun tam detaylı metni olmadığı için yorumlu çözümden kaçınmak gerek.

3. Soru 9 Çözümü: Boncuk Sayısı

Seval boncuğunu 6’şar, 7’şer ve 8’er saydığında sırasıyla 3, 4 ve 5 boncuk artıyor. En az kaç boncuk vardır?

Çözüm:

Boncuk sayısı x olsun.
x mod 6 = 3
x mod 7 = 4
x mod 8 = 5

Denklikleri sağlayan en küçük x sayısını arıyoruz.

Denklikleri eşitleyelim:
x = 6a + 3
x = 7b + 4
x = 8c + 5

Yukarıdaki ifadeler çakışmalı.

x - 3 mod 6 = 0 → x ≡ 3 mod 6
x - 4 mod 7 = 0 → x ≡ 4 mod 7
x - 5 mod 8 = 0 → x ≡ 5 mod 8

Deneklerle çözüm:

x ≡ 3 mod 6 → x = 6k + 3 → Deneyelim:
- k=0 → 3 → 3 mod 7 = 3 ≠ 4
- k=1 → 9 → 9 mod 7 = 2
- k=2 → 15 → 15 mod 7=1
- k=3 → 21 → 21 mod7=0
- k=4 → 27 → 27 mod 7=6
- k=5 → 33 → 33 mod7=5
- k=6 → 39 → 39 mod7=4 (tamam)

39 mod6=3 , 39 mod7=4

Şimdi 39 mod8=7 değil, 5 olmalı.

Bir sonraki x sağlayana kadar 6’nın katlarını 3 ile toplayıp kontrol edelim:
x=39 + 6×m, m=0,1,…

m=0 → 39 mod8=7
m=1 → 45 mod8=5 (tamam)
45 mod6=3 (tamam)
45 mod7=3 değil (4 olmalı)
Devam:

m=2 → 51 mod8=3 değil
m=3 → 57 mod8=1 değil
m=4 → 63 mod8=7 değil
m=5 → 69 mod8=5; 69 mod7=6 değil
m=6 → 75 mod8=3 değil
m=7 → 81 mod8=1 değil
m=8 → 87 mod8=7 değil
m=9 → 93 mod8=5; 93 mod7=2 değil
m=10→ 99 mod8=3 değil
m=11→ 105 mod8=1 değil
m=12→ 111 mod8=7 değil
m=13→ 117 mod8=5, 117 mod7=5 değil
m=14→ 123 mod8=3 değil
m=15→ 129 mod8=1 değil
m=16→ 135 mod8=7 değil
m=17→ 141 mod8=5, 141 mod7=1 olmadı
m=18→ 147 mod8=3 olmadı
m=19→ 153 mod8=1 olmadı
m=20→ 159 mod8=7 olmadı
m=21→ 165 mod8=5, 165 mod7=4 (tamam)

165 mod6=3
165 mod7=4
165 mod8=5

Cevap: 165 (D şıkkı)

4. Soru 10 Çözümü: En Küçük K Sayısı

Bir K sayısı 9/5, 12/7 ve 15/11 sayıları ile tam bölünebilen en küçük K sayısı kaçtır?

Çözüm:

K, 9/5, 12/7, 15/11 kesirlerinin paydasını tam bölmeli ve bütün sayılarla bölünebilmelidir.
K, paydadaki sayılarla tam bölünebilmelidir
Paydalar 5, 7, 11 → Bunların EKOK’u: 5,7 ve 11 birbirinden asal → EKOK = 385
Paylar 9, 12, 15 → Bunların EKOK’u = EKOK(9,12,15)

9: 3²
12: 2² × 3
15: 3 × 5

EKOK: 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180

K, paydanın çarpımı (385) × payların EKOK’unun katı olmalı

Ama K hem 9/5 sayısına, hem 12/7, hem 15/11 sayısına tam bölünebilmelidir; aslında K, 9/5 * t, 12/7 * t, 15/11 * t tam sayı olması için t K’nın payda katı bir sayı olmalı.

Özet: K’nın hem paydaları hem payları bölme şartı taşıması için,

K sayısının paydadaki sayılara bölünebilmesi için K EKOK(5,7,11) = 385’in katı olmalı.

Ayrıca K, 9, 12, 15 sayılarını da tam bölmeli → K sayısı yine bu sayıların katı olmalıdır.

Sonuçta K, EKOK(9,12,15,5,7,11)

Hesaplayalım:

EKOK(5,7,11) = 385
EKOK(9,12,15) = 180 (önceki hesap)

385 ve 180 sayılarının asal çarpanlarına bakalım:

385 = 5 × 7 × 11
180 = 2² × 3² × 5

EKOK(180, 385) = 2² × 3² × 5 × 7 × 11 = 4 × 9 × 5 × 7 × 11

= 4×9=36, 36×5=180, 180×7=1260, 1260×11=13860

K = 13860

5. Soru 11 Çözümü: Bahçe Fidan Dikimi

Bahçenin uzunlukları 144 m (uzun kenar), 84 m (kısa kenar)
Bahçenin duvar olmayan kısımlarına eşit aralıklarla fidan dikilecek
Kaç fidan dikilebilir?

Çözüm:

Fidanlar eşit aralıklarla dizileceği için en büyük eşit ara mesafe, uzunluk ve genişliğin ortak böleni olmalıdır → OBEB(144, 84)
OBEB 144 ve 84’ün en büyük ortak böleni:
144 = 2⁴ × 3²
84 = 2² × 3 × 7

Büyük ortak çarpan: 2² × 3 = 4 × 3 = 12

Fidan aralıkları 12 metre
Uzun kenarda fidan sayısı = 144 / 12 = 12
Kısa kenarda fidan sayısı = 84 / 12 = 7

Fidanlar kenar boyunca sayılır, bu durumda:

12 fidan uzun kenarda, 7 fidan kısa kenarda

Bahçe dört kenar olduğuna göre:

2 uzun kenar × 12 fidan = 24
2 kısa kenar × 7 fidan = 14

Toplam: 24 +14 = 38 fidan

Cevap: 38 (E şıkkı)

6. Soru 12 Çözümü: Doğal Sayılar Problemi

a, b, c doğal sayılar ve

K = 12a + 4 = 15b + 7 = 16c + 10

eşitliğini sağlayan en küçük K doğal sayısı?

Çözüm:

K - 4 = 12a
K - 7 = 15b
K - 10 = 16c

K - 4 12’ye bölünebilen sayı
K - 7 15’e bölünebilen sayı
K - 10 16’ya bölünebilen sayı

Buna göre:

K \equiv 4 \pmod{12}
K \equiv 7 \pmod{15}
K \equiv 10 \pmod{16}

K mod 12 = 4
K mod 15 =7
K mod 16 =10

Şimdi çözüm için K sayısını bulmamız gerekiyor.

İlk olarak, 12 ve 15 modları üzerinden devam edelim.

K \equiv 4 \pmod{12} → K=12m+4
Bu ifadeyi 15’e göre inceleyelim:
12m +4 \equiv 7 \pmod{15}
12m \equiv 3 \pmod{15}

12 mod 15 = 12

Denklem:
12m \equiv 3 \pmod{15}

15 asal değil, fakat 12 ve 15 iç içe.

12 ve 15’in OKEB’i: 60

Alternatif olarak, deneme yöntemi yapılabilir.

m için 0’dan başlayarak deneyelim:
m=0 → 4 mod 15 =4 ≠7
m=1 → 16 mod 15=1 ≠7
m=2 → 28 mod 15=13≠7
m=3 → 40 mod 15=10≠7
m=4 → 52 mod 15=7 (tamam)

m=4 → K=12×4+4=52

K=52 şimdi 16 mod 10 mu?

52 mod 16=4 ≠10

Devam:

Bir dahaki m ile artış 15’lik döngüye göre 15 kattan devam edelim.

Genel K formülü şu şekildedir:

K=52 + 15t

Şimdi değerlerini 16 mod 10 koşuluna göre deneyelim.

t=0 → K=52 mod 16=4 ≠10
t=1 → K=67 mod 16=3 ≠10
t=2 → K=82 mod 16=2 ≠10
t=3 → K=97 mod 16=1 ≠10
t=4 → K=112 mod 16=0 ≠10
t=5 → K=127 mod 16=15 ≠10
t=6 → K=142 mod16=14 ≠10
t=7 → K=157 mod16=13 ≠10
t=8 → K=172 mod16=12 ≠10
t=9 → K=187 mod16=11 ≠10
t=10 →K=202 mod16=10 (tamam)

Sonuçta:

K = 52 + 15 × 10 = 52 + 150 = 202

Cevap: 202 (E şıkkı)

Özet Tablo

Soru No	Konu	Cevap
7	Nöbetler (EKOK)	105
8	Lego Sayısı (EKOK)	180* veya soruya göre değişir
9	Boncuk Sayısı (Mod Problemi)	165
10	En Küçük K Sayısı	13860
11	Bahçe Fidan Dikimi (OBEB)	38
12	Doğal Sayılar Mod Problemi	202

Sık Sorulan Sorular

1. EKOK ve OBEB arasındaki fark nedir?
EKOK (En Küçük Ortak Kat) iki sayının ortak katlarının en küçüğüdür. OBEB (En Büyük Ortak Bölgen) ise ortak bölenlerin en büyüğüdür. EKOK sayılar çarpılarak hesaplanabilir, OBEB ise asal çarpanlar üzerinden bulunur.

2. Modulus işlemi nedir?
Modulus, bir sayının başka bir sayıya bölümünden kalan değeri gösterir. Örneğin, 17 mod 5 = 2, çünkü 17’nin 5 ile bölümünde kalan 2’dir.

3. Soru çözümünde deneme yöntemi ne zaman kullanılır?
Denklemler oldukça karmaşıksa veya doğrudan formül uygulanamıyorsa, modüler aritmetik problemlerinde bazen az sayıda deneme karmaşıklığı azaltabilir.

Sonraki Adımlar

İsterseniz bu sorulardan birinin ayrıntılı çözüm sürecini adım adım gösterebilirim. Hangi sorunun detaylı çözümünü istersiniz?

@Egecan_Kavak

Geometri_Danismani · Şubat 3, 2026, 3:24ös

Resimli Soru 03-02-2026 18:22:43 Çözümleri (Sorular 7–12)

Öne Çıkan 3 Nokta

Ortak kat ve asgari ortak kat (OKK) problemlerinde en küçük eş zamanlı tekrar OKK ile bulunur.
Modüler denklem (Chinese Remainder) uygulamalarında dikkatli bakiye (kalan) işlemi şarttır.
Dikdörtgenin açık kenarlarına eşit aralıklarla dikim probleminde mesafe = GCD(kenarlar) formülü kullanılır.

Kısa Cevaplar
7. C) 140
8. C) 63
9. D) 165
10. A) 180
11. B) 21
12. (Metinde tutarsızlık mevcut; lütfen gözden geçirelim.)

İçindekiler

Soru 7
Soru 8
Soru 9
Soru 10
Soru 11
Soru 12

1. Soru 7

Problem: Yılmaz 5 günde bir, Ali 7 günde bir nöbet tutuyor. İlk beraber tuttukları nöbetin ardından 4. kez beraber tutacakları gün sayısı?

Çözüm adımları:

Birlikte nöbet sıklığı = OKK(5,7)=35 gün.
İlk ortak nöbetten sonra 4. ortak nöbet = 4×35 = 140 gün.

Cevap: 140 (C şıkkı).

2. Soru 8

Problem (düzeltilmiş okunuş): Legolarını 4’er, 5’er ve 6’şar parça ayırdığında hep 3 lego artıyor. Öğrencinin en az kaç legosu vardır?

Çözüm adımları:

N\equiv 3\pmod 4, N\equiv 3\pmod 5, N\equiv 3\pmod 6.
N-3 sayısı 4, 5 ve 6’ya tam bölünür ⇒ N-3 \equiv 0 \pmod{\mathrm{OKK}(4,5,6)} = 60.
En küçük N = 60\cdot1 + 3 = 63.

Cevap: 63 (C şıkkı).

3. Soru 9

Problem: Seval boncuklarını 6’şar, 7’şer ve 8’şer sayıda ayırdığında sırasıyla 3, 4 ve 5 boncuk artıyor. En az kaç boncuk vardır?

Çözüm:

N\equiv3\pmod6, N\equiv4\pmod7, N\equiv5\pmod8.
Deneme-yanılma ile bulunan en küçük çözümlü değer: N=165.

Cevap: 165 (D şıkkı).

4. Soru 10

Problem: Bir K sayısı sırasıyla \tfrac{9}{5},\tfrac{12}{7},\tfrac{15}{11} sayılarıyla tam bölünebilmektedir. En küçük K kaçtır?

Çözüm:

K\div\frac{9}{5}\in\mathbb{Z} \Rightarrow K\cdot\frac{5}{9}\in\mathbb{Z}\implies 9\mid K.
Benzer şekilde 12\mid K, 15\mid K.
K=\mathrm{OKK}(9,12,15)=180.

Cevap: 180 (A şıkkı).

5. Soru 11

Problem: Dikdörtgen bahçenin bir uzun kenarı duvarla çevrili, kalan iki açık kenara (uzun = 144 m, kısa = 84 m) eşit aralıklarla fidan dikecektir. En az kaç fidan gerekir?

Çözüm:

Eşit aralık = GCD(144, 84) = 12 m.
Uzun kenara nokta sayısı = \tfrac{144}{12}=12 bölüm ⇒ 13 fidan.
Kısa kenara nokta sayısı = \tfrac{84}{12}=7 bölüm ⇒ 8 fidan.
Köşe fidanları iki kez sayılmasın dersek toplam = 13+8=21.

Cevap: 21 (B şıkkı).

6. Soru 12

Problem: a,b,c\in\mathbb{N} ve

K = 12a + 4 = 15b + 7 = 16c + 10

eşitliğini sağlayan en küçük K doğal sayısı kaçtır?

Çözüm girişimi:

K\equiv4\pmod{12}, K\equiv7\pmod{15}, K\equiv10\pmod{16} denklemleri tutmuyor.
Seçenekleri test ettiğimizde hiçbiri tam uymuyor.

Bu soruda ifade veya şıklar arasında tutarsızlık olabilir. Lütfen orijinal metni veya şıkları bir kez daha kontrol edelim.

Özet Tablosu

Soru	Şık	Cevap	Temel Kavram
7	C	140	OKK
8	C	63	Modüler denklem
9	D	165	CRT / Deneme
10	A	180	Bölen kat
11	B	21	GCD / Dikim nokt.
12	–	–	Tutarsızlık var

Sıkça Sorulan Sorular

“OKK ile nasıl hızlı hesap yapılır?”
“CRT (Çin kalanlar teoremi) nedir, nasıl uygulanır?”
“Dikdörtgen kenarlarına fidan dikerken köşe sayımı nasıl düzenlenir?”
“Modüler denklemde kalanı yanlış okuduğumda ne yapmalıyım?”

Bir sonraki adım olarak hangi sorunun daha detaylı çözümünü görmek istersiniz?
@Egecan_Kavak