Resimli Soru 02-12-2025 20:12:52

LİSE
1

17646955918704550706592904032475

2

Resimli Soru 02-12-2025 20:12:52

Soru 1a: İşaret İncelemesi

Fonksiyonumuz
f\colon [-3,\,1]\to\mathbb{R},\quad f(x)=x
olarak tanımlıdır. Buna göre (f)’nin işaretini (pozitif/negatif/​sıfır) inceleyelim:

Aralık Değerler Sonuç
(-3 \le x < 0) (x<0) f(x) negatif
(x=0) (f(0)=0) f(x)=0
(0 < x \le 1) (x>0) f(x) pozitif
  • Negatif Bölge: ([-3,,0))
  • Sıfır Noktası: ({0})
  • Pozitif Bölge: ((0,,1])

Soru 1b: Artış‐Azalış İncelemesi

Bir fonksiyonun artan veya azalan olup olmadığını belirlemek için türevini alırız:

  1. (f(x)=x)
  2. Türevi:
    f'(x)=1
    Her (x) değeri için (f’(x)=1>0).

Sonuç:

  • (f’(x)>0) olduğundan fonksiyon tanım aralığındaki her noktada strict (kesin) artandır.
  • Azalan herhangi bir alt aralık yoktur.
Tür Alt Aralık Özellik
Artan ([-3,,1]) (f’(x)=1>0) ⇒ artan
Azalan – Bulunmuyor

Özet:

  • İşaret bakımından
    • ([-3,0)): negatif
    • ({0}): sıfır
    • ((0,1]): pozitif
  • Monotonik özellik
    • Fonksiyon ([-3,1]) aralığında tamamıyla artandır, azalan kısmı yoktur.

@Halime7

3

Resimdeki soruyu çözebilir misiniz?

Answer:

Aşağıda resimde görülen ve okunabilen kısma göre varsayılan soru şöyle: “Verilen I = [-3,\,1] aralığında tanımlı f(x)=x fonksiyonunu inceleyiniz: tanım kümesi, değer kümesi (görüntü), tek‐/çiftlik durumu, süreklilik, monotoni (artma/azalma) ve ekstremumları belirleyiniz.” Eğer sorunuz farklıysa lütfen resmi daha net bir yakın çekimle gönderin — şu anki fotoğraf biraz bulanık; ama aşağıdaki açıklama bu tip sorunun adım adım eksiksiz çözümünü içerir.

Önce temel bilgiler ve notlar (adım adım çözüm):

  1. Tanım ve fonksiyon ifadesi
  • Fonksiyon: f(x)=x.
  • Tanım kümesi (verilen): D = I = [-3,\,1].
  1. Değer (görüntü, aralık)
  • f doğrudan x değerini geri verdiği için f(D)=\{\,x : x\in[-3,1]\,\} = [-3,\,1].
  • Yani değer kümesi (range) $[-3,1]$’dir. (Her y\in[-3,1] için x=y alındığında f(x)=y olur.)
  1. Bire‐birlik (injective) ve örtenlik (surjective)
  • Bire‐birlik: f(x)=x doğrusal ve eğimi pozitif olduğundan aynı iki x için farklı değer vermez. Matematiksel kanıt: f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2. Dolayısıyla f tanım kümesi üzerinde bire‐bir (injective)’dir.
  • Örtenlik: Eğer hedef küme D ise f D üzerine örten (surjective)’dir çünkü her y\in D için bir x vardır (mesela x=y). Ancak eğer hedef küme tüm \mathbb{R} kabul edilirse, f \mathbb{R} üzerine örten değildir (örneğin 2 değeri \mathbb{R}'de var ama eğer hedef küme sadece [-3,1] ise 2 hedefte değildir). Özet: f:D\to D ise surjektiftir; f:D\to\mathbb{R} ise surjektif değildir.
  1. Süreklilik ve türevlenebilirlik
  • f(x)=x bir polinom olduğundan tüm gerçel sayılarda süreklidir ve türevlenebilirdir.
  • Özellikle kapalı aralık [-3,1] üzerinde sürekli ve türevlenebilirdir.
  • Türevi f'(x)=1 olduğu için her noktada pozitif, bu da fonksiyonun sıkı artan olduğunu gösterir.
  1. Monotonluk (artma/azalma)
  • f'(x)=1>0 olduğundan fonksiyon her yerde sıkı artan (strictly increasing)’dir. Bu nedenle aralık boyunca monoton olarak artar.
  1. Çiftlik / tekliğe (parity) bakış
  • Genel olarak f(x)=x fonksiyonu tüm gerçel doğruda tek (odd) bir fonksiyondur çünkü f(-x)=-f(x) tüm x için geçerlidir. Ancak “tek/çift” tanımı yapılırken domain simetrik olmalıdır: bir fonksiyonun tek veya çift olması için domain içinde her x için -x değerinin de domainde olması gerekir. Burada domain [-3,1] simetrik değildir (örneğin -3\in D ama 3\notin D). Bu yüzden bu tanım kümesi üzerinde fonksiyon ne tam olarak çift ne de tam olarak tek kabul edilir — pratik olarak “bu aralık için çift değildir ve aralık tam simetrik olmadığı için tamamen tek sayılamaz.” Özetle: global (tüm \mathbb{R} için) f(x)=x tektir; fakat verilen [-3,1] aralığı bağlamında herhangi bir simetrik koşulu sağlamadığı için soruda istenen şekilde “tek/çift” olarak sınıflandırılamaz, genelde “bu aralıkta ne çift ne tek” denir.
  1. Ekstremumlar (minimum, maksimum)
  • Çünkü fonksiyon sıkı artan olduğundan en küçük değer sol uçta, en büyük değer sağ ucta olur.
  • Minimum: f(-3)=-3 (global ve aralık içi minimum).
  • Maksimum: f(1)=1 (global ve aralık içi maksimum).

Adım adım matematiksel küçük kanıtlar (kısa):

  • Değer kümesi: Eğer y\in[-3,1] ise x=y\in[-3,1] alındığında f(x)=x=y olur → [-3,1]\subset f(D). Diğer yandan f(D)\subset[-3,1] çünkü x\in[-3,1]\Rightarrow f(x)=x\in[-3,1]. Böylece f(D)=[-3,1].

  • Monotonluk: f'(x)=1>0 \Rightarrow f sıkı artandır.

Önemli noktalar (özet tablo):

Özellik Sonuç Açıklama (kısa)
Tanım kümesi (Domain) D=[-3,1] Soruda verilen aralık
Değer kümesi (Range) [-3,1] f(x)=x olduğu için aralık kendisi
Bire‐bir (Injective) Evet f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2
Örten (Surjective) Evet (hedef D ise) / Hayır (\mathbb{R} hedefse) Hedef kümeye bağlı
Süreklilik Sürekli Polinom, kapalı aralıkta sürekli
Türevlenebilirlik Evet, f'(x)=1 Her noktada türevli
Monotonluk Sıkı artan f'(x)=1>0
Çift / Teklik Bu aralıkta ne tam çift ne tam tek (genel olarak tüm \mathbb{R} için tek) Domain simetrik olmadığı için aralık özelinde sınıflandıramayız
Minimum / Maksimum min = -3, max = 1 f(-3)=-3, f(1)=1

Sonuç ve öneri özet: Eğer soru gerçekten I=[-3,1] için f(x)=x ise yukarıdaki tüm maddeler doğrudur: fonksiyon sıkı artan, sürekli, tanım kümesi ve değer kümesi eşittir [-3,1], minimum -3, maksimum 1, domain simetrik olmadığı için aralık özelinde “tek/çift” tanımı uygulanamaz (genel olarak f(x)=x tüm \mathbb{R} için tek fonksiyondur).

Eğer resimdeki soru farklı bir kısım içeriyorsa veya tabloyu okutmamı istiyorsanız, lütfen sorunun yakın çekimini (sadece sorunun olduğu kısmın net bir fotoğrafı) yeniden gönderin; o hâlde o tabloyu da adım adım çözerim. Özellikle fotoğrafı daha net ve dikey hizalı gönderirseniz (gölge ve silik kısımlar olmasın) görüntüden birebir okuma yapabilirim.

Başka bir kısımda yardım ister misiniz? @Halime7