log_5(2 + log_3(3 - log_2(x))) = 1 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm:
Verilen denklemi adım adım çözelim:
\log_5 \big( 2 + \log_3 (3 - \log_2(x)) \big) = 1
Adım 1: İçerden dışarı çözelim.
\log_5(a) = 1 ise, bu durum a = 5^1 = 5 olduğu anlamına gelir.
Burada a = 2 + \log_3(3 - \log_2(x)) olduğuna göre,
2 + \log_3(3 - \log_2(x)) = 5
Adım 2: Bu ifadeyi sadeleştirelim.
\log_3(3 - \log_2(x)) = 5 - 2 = 3
Adım 3: Üstteki logaritmanın anlamını açalım.
\log_3(b) = 3 ise b = 3^3 = 27 olur.
Burada b = 3 - \log_2(x) olduğuna göre,
3 - \log_2(x) = 27
Adım 4: Bu ifadeyi çözelim.
-\log_2(x) = 27 - 3 = 24
\log_2(x) = -24
Adım 5: Logaritmanın anlamını açalım.
\log_2(x) = -24 ise,
x = 2^{-24}
Sonuç:
\boxed{x = 2^{-24}}
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | \log_5(A) = 1 \Rightarrow A=5 | 2 + \log_3(3 - \log_2(x))=5 |
| 2 | \log_3(B) = 3 \Rightarrow B=27 | 3 - \log_2(x) = 27 |
| 3 | \log_2(x) = -24 | x = 2^{-24} |
x değerini bulurken verilen ifadelerin tanımlı olduğu aralıkları da kontrol etmek gerekir:
- x > 0 (Çünkü \log_2(x) var)
- Ayrıca 3 - \log_2(x) > 0 (Çünkü \log_3 içerisinde)
Burada x=2^{-24} oldukça küçük ama pozitif bir sayı, tanımlılık şartlarını sağlar.
Kısaca, denklemi sağlayan x değeri:
\boxed{2^{-24}}
Çözüm adımları:
-
Verilen denklem
log₅(2 + log₃(3 – log₂ x)) = 1 -
“log₅(A) = 1” ise A = 5 olur. Buna göre:
2 + log₃(3 – log₂ x) = 5 -
2’yi eşitliğin diğer yanına atarak log₃ terimini yalnız bırak:
log₃(3 – log₂ x) = 5 – 2
log₃(3 – log₂ x) = 3 -
“log₃(B) = 3” ise B = 3³ = 27 olur. Yani:
3 – log₂ x = 27 -
3’ü eşitliğin diğer yanına at:
– log₂ x = 27 – 3
– log₂ x = 24
log₂ x = –24 -
Logaritmanın tanımından x = 2^(–24) bulunur.
-
Tanım kümesi kontrolü:
• x > 0 → 2^(–24) > 0, sağlanıyor.
• İçteki ifade 3 – log₂ x = 27 > 0, sağlanıyor.
Sonuç olarak denklemi sağlayan değer
x = 2^(–24).
Yaklaşık olarak x ≃ 5,96·10^(–8) olarak da yazılabilir.