a ve b iki basamaklı tam kare sayılardır. a + b de tam kare olduğuna göre, a + b en fazla kaçtır?
Cevap:
Bu soruda a ve b iki basamaklı tam kare sayılardır ve a + b’nin de tam kare olduğu durumlar inceleniyor. Bizden istenen, a + b toplamının en büyük değeri nedir?
Önemli Bilgiler ve Tanımlar:
- İki basamaklı tam kare sayılar: 10 ile 99 arasında olan tam kare sayılar demektir.
- Tam kare sayı: Bir sayının kendisiyle çarpımıdır (örneğin 16 = 4²).
- a + b’nin tam kare olması: Toplamın da mutlaka tam kare olması gerekiyor.
Adım Adım Çözüm
1. İki basamaklı tam kare sayıların listesi:
İki basamaklı tam kare sayılar, 10 ile 99 arasındaki tam karelerdir. Bunlar:
| Karekök | Kare |
|---|---|
| 4 | 16 (4²) |
| 5 | 25 (5²) |
| 6 | 36 (6²) |
| 7 | 49 (7²) |
| 8 | 64 (8²) |
| 9 | 81 (9²) |
Yani a ve b bu sayılardan seçilecek.
2. a + b’nin tam kare olabilmesi için durumları kontrol edelim:
Tüm çift kombinasyonlarını bulalım ve toplamlarının hangi tam kare olduğunu kontrol edelim. Amacımız a + b en büyük tam karei olmasıdır.
| a | b | a + b | a + b tam kare mi? |
|---|---|---|---|
| 81 | 64 | 145 | Hayır |
| 81 | 49 | 130 | Hayır |
| 81 | 36 | 117 | Hayır |
| 81 | 25 | 106 | Hayır |
| 81 | 16 | 97 | Hayır |
| 64 | 49 | 113 | Hayır |
| 64 | 36 | 100 | Evet (10²) |
| 64 | 25 | 89 | Hayır |
| 64 | 16 | 80 | Hayır |
| 49 | 36 | 85 | Hayır |
| 49 | 25 | 74 | Hayır |
| 49 | 16 | 65 | Hayır |
| 36 | 25 | 61 | Hayır |
| 36 | 16 | 52 | Hayır |
| 25 | 16 | 41 | Hayır |
Ayrıca, a ve b’nin yer değiştirmesi toplamı değiştirmez, bu yüzden çiftleri bir kere aldık.
3. Seçeneklerin değerlendirilmesi:
Verilen seçenekler:
| Seçenek | Sayı | Tam Kare mi? |
|---|---|---|
| A) 25 | 25 | Evet 5² |
| B) 81 | 81 | Evet 9² |
| C) 100 | 100 | Evet 10² |
| D) 144 | 144 | Evet 12² |
4. Sum değerlerinin karşılaştırılması ve sonuç:
Gözlemlerimize göre:
- 64 + 36 = 100, ki bu 10²’dir.
- Diğer kombinasyonların toplamları 100’den büyük ve tam kare değil veya tam kare olanların toplamı 100’den küçük.
- 144 için ise toplam a + b = 144 olmak zorunda, fakat 144’ü elde edecek iki basamaklı tam kare topluluğu yok.
Sonuç:
a = 64, b = 36 seçildiğinde, a + b en yüksek tam kare değeri olan 100 elde edilir.
Özet Tablo
| Adım/Durum | Değerler/Eşitlik | Açıklama |
|---|---|---|
| İki basamaklı tam kareler | 16, 25, 36, 49, 64, 81 | 10-99 arasındaki tam kareler |
| a + b tam karemi? | 64 + 36 = 100 | 100 = 10², en yüksek tam kare toplam olarak bulundu |
| En fazla a + b değeri | 100 | Doğru cevap seçenek C’dir |
Cevap: C) 100