Merhaba — Resimdeki problemi tam olarak çözmemi ister misin? Fotoğraftaki sorudan anladığım şudur: aynı yerçekimi ivmesinde iki cisim farklı durumlarla serbest bırakılıyor; birinin ilk hızı sıfır, diğerinin ilk hızı farklı (fotoğrafta muhtemelen 10 m/s verilmiş). Aşağıda genel çözüm adımları, gerekli formüller, grafiklerin nasıl çizileceği ve kısa bir örnek hazırladım. Bana kesin sayısal değerleri (h1, h2 ve ilk hız v_0) gönderirsen tüm hesapları adım adım yapıp x–t, v–t, a–t grafiklerini ve kısa raporu hazırlarım.
Özet soru (kısa): İki cisim serbest düşme hareketi yapıyor — birisi ilk hızı 0, diğeri ilk hızı v_0\neq0. Yükseklikler h_1,h_2. Etki: düştükleri yükseklikleri göster, çarpma hızlarını belirle, x–t, v–t ve a–t grafiklerini çiz.
- Temel denklemler (aşağı yön pozitif alınır, yer çekimi ivmesi g)
- İlk hızı sıfır (v_0=0) için:
h=\dfrac{1}{2}\,g\,t^2
v=g\,t
v^2=2\,g\,h - İlk hızı v_0\neq0 (aşağı yön pozitif) için:
h = v_0\,t + \dfrac{1}{2}\,g\,t^2
v = v_0 + g\,t
v^2 = v_0^2 + 2\,g\,h
- Çarpma (etki) hızını bulma
- v_0=0 ise son hız:
v = \sqrt{2 g h} - v_0\neq 0 ise son hız (yukarı/düşey yön işaretine dikkat ederek):
v = \sqrt{v_0^2 + 2 g h} (eğer v_0 ve düşüş aynı yöndeyse)
Not: İşaretleri koruyarak hesap yapmak istiyorsanız v = v_0 + g t formülünden t bulunup yerine koyabilirsiniz.
- Zamanı bulma
- v_0 = 0 için: t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}
- v_0 \neq 0 için: t ikinci dereceden denklemden çözülür:
\dfrac{1}{2} g t^2 + v_0 t - h = 0
ve t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2 g h}}{g} (pozitif kök alınır; işaret konvansiyonuna dikkat)
- Grafiklerin nasıl olacağı (aşağı yön pozitif kabulüyle)
- x–t (yer–zaman): Parabol. x(t)=x_0 + v_0 t + \frac12 g t^2. v_0=0 ise tepe yok; eğim başlangıçta 0 ve zamanla artar.
- v–t (hız–zaman): Doğru. Eğimi g (sabit). Başlangıç değeri v_0.
- a–t (ivme–zaman): Sabit. a(t) = g (yatay sabit çizgi).
- Örnek (sayılarla gösterim; kitaplarda sıkça g=10\ \text{m/s}^2 alınır)
Diyelim g=10\ \text{m/s}^2, h_1=20\ \text{m} ve diğer cismin ilk hızı v_0=10\ \text{m/s} ile h_2=5\ \text{m} (örnek değerler).
- v_{1,\text{çarpma}} = \sqrt{2\cdot 10 \cdot 20} = \sqrt{400} = 20\ \text{m/s}
- t_1 = \sqrt{2h_1/g} = \sqrt{40/10} = \sqrt{4} = 2\ \text{s}
- Diğer cisim için: v_{2,\text{çarpma}} = \sqrt{v_0^2 + 2 g h_2} = \sqrt{10^2 + 2\cdot10\cdot5} = \sqrt{100+100}= \sqrt{200}\approx 14.14\ \text{m/s}
- t_2 = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2 g h_2}}{g} = \dfrac{-10 + \sqrt{200}}{10}\approx \dfrac{-10+14.142}{10}=0.414\ \text{s}
(Örnekten görüldüğü gibi ilk hızı yüksek olan daha kısa sürede düşebilir ama h ve v ilişkisi farklı sonuçlar verir; rakamlar örnektir.)
- Rapor için önerilen içerik (kısa)
- Problem tanımı ve kabul edilen koordinat/işaret konvansiyonu.
- Kullanılan formüller (yukarıdaki tablo).
- Her cisim için adım adım hesap: zaman, hız (etki), grafikler.
- x–t, v–t, a–t grafiklerinin el çizimi veya çizim yazılımı ile oluşturulması.
- Kısa sonuç: hangi cisim daha hızlı çarptı, nedenleri.
- Hızlı formüller tablosu
| Durum | Yer formülü | Hız zaman ilişkisi | Etki hızı (son hız) |
|---|---|---|---|
| v_0=0 | h=\dfrac12 g t^2 | v=g t | v=\sqrt{2 g h} |
| v_0\neq0 | h=v_0 t + \dfrac12 g t^2 | v=v_0 + g t | v=\sqrt{v_0^2 + 2 g h} |
Ne yapabilirim şimdi?
- Eğer fotoğraftaki sayılara göre (kitaptaki h_1,h_2 ve v_0=10\ \text{m/s} gibi) tam çözüm istersen, lütfen görüntünün net bir kısmını veya fotoğrafta yazan sayısal değerleri gönder.
- Gönderirsen ben adım adım hesapları yapıp x–t, v–t ve a–t grafiklerini tarif ederek rapor haline getiririm.
İstersen hemen fotoğraftaki net sayıları okuıp ben hesaplayayım — hangi değerler var, doğrular mıyız?
**## Resimli Soru: Serbest Düşme Performans Görevi
Soru Özeti:
Aynı çekim ivmesine sahip bir ortamda
- K cismi, ilk hızı sıfır olacak şekilde h_{1} yüksekliğinden,
- L cismi, ilk hızı sıfırdan farklı olacak şekilde h_{2} yüksekliğinden
serbest bırakılmaktadır.
L cisminin ilk hızı, K cisminin yere çarpma hızının % 50’si olarak alınmıştır.
Yapılacaklar:
- Cisimlerin atıldığı yükseklik konumlarını gösteriniz.
- Her iki cismin yere çarpma hızlarını hesaplayınız.
- K ve L için x–t, v–t ve a–t grafiklerini çizip kısaca yorumlayınız.
Table of Contents
- Verilenler ve Değişkenler
- Yükseklik Gösterimi
- Çarpma Zamanı ve Hızı Hesapları
3.1 K Cismi (v₀ᴷ=0)
3.2 L Cismi (v₀ᴸ≠0) - Grafik Çizimleri ve Yorumlar
4.1 x–t Grafiği
4.2 v–t Grafiği
4.3 a–t Grafiği - Özet Tablosu
- Kısa Rapor Örneği
1. Verilenler ve Değişkenler
- g: Yerçekimi ivmesi (aşağı yön pozitif).
- K cismi:
• Başlangıç hızı v_{0K}=0
• Serbest bırakma yüksekliği: h_{1} - L cismi:
• Başlangıç hızı v_{0L} = 0{,}5\,v_{\rm K,çarpma}
• Serbest bırakma yüksekliği: h_{2}
Not: K cisminin yere çarpma hızı v_{\rm K,çarpma} = \sqrt{2\,g\,h_1} olarak bulunur; L’nin ilk hızı bu değerin % 50’si alındı.
2. Yükseklik Gösterimi
Her iki cisim için koordinat sistemi:
- y=0 → yere,
- y=h_1 veya y=h_2 → serbest bırakma noktalarına karşılık gelir.
Şematik gösterim:
↑ y
h2 • L(0, v0L)
h1 • K(0, 0)
0 └─────────→ x
– K cismi yukarıdaki h_{1} seviyesinden,
– L cismi ise h_{2} seviyesinden başlar.
3. Çarpma Zamanı ve Hızı Hesapları
3.1 K Cismi (v_{0K}=0)
Hareket denklemleri (aşağı yön pozitif):
x_K(t) = \tfrac12\,g\,t^2
v_K(t) = g\,t
Çarpma zamanı:
x_K(t_K)=h_1 \;\Rightarrow\; \tfrac12\,g\,t_K^2 = h_1
\;\Rightarrow\; t_K = \sqrt{\tfrac{2\,h_1}{g}}
Yere çarpma hızı:
v_{K,çarpma} = g\,t_K = g\,\sqrt{\tfrac{2\,h_1}{g}} = \sqrt{2\,g\,h_1}
3.2 L Cismi (v_{0L}\neq0)
Başlangıç hızı v_{0L} = 0{,}5\,v_{K,çarpma} = 0{,}5\,\sqrt{2\,g\,h_1}.
Hareket denklemleri:
x_L(t) = v_{0L}\,t \;+\; \tfrac12\,g\,t^2
v_L(t) = v_{0L} + g\,t
Çarpma zamanı t_L köklerinden pozitif olan:
\tfrac12\,g\,t_L^2 + v_{0L}\,t_L - h_2 = 0
\;\Rightarrow\; t_L = \frac{-v_{0L} + \sqrt{v_{0L}^2 + 2\,g\,h_2}}{g}
Yere çarpma hızı:
v_{L,çarpma} = v_{0L} + g\,t_L
= v_{0L} + \sqrt{v_{0L}^2 + 2\,g\,h_2}
4. Grafik Çizimleri ve Yorumlar
4.1 x–t Grafiği
- K için: x_K \propto t^2 → Başlangıçta yatay (yavaş hareket), zamanla dikleşen parabol.
- L için: Başlangıç eğimi v_{0L} kadar eğik, parabolün tepeye kaymış hali.
4.2 v–t Grafiği
- K için: v_K(t)=g\,t doğrusal, orijinden başlar.
- L için: v_L(t)=v_{0L} + g\,t doğrusal, $t=0$’da v_{0L} değerinden başlar.
4.3 a–t Grafiği
- Her iki cisim için de a(t)=g sabit; grafik yatay bir doğru.
(Not: Grafikleri çizerken y ekseni aşağı yön pozitif, x ekseni zamanı gösterir. Tüm eksenleri net etiketleyiniz.)
5. Özet Tablosu
| Cisim | Başlangıç Hızı v_0 | Serbest Bırakma Yüksekliği | Çarpma Zamanı t | Çarpma Hızı v |
|---|---|---|---|---|
| K | 0 | h_1 | \displaystyle \sqrt{\tfrac{2h_1}{g}} | \displaystyle \sqrt{2gh_1} |
| L | \displaystyle 0{,}5\,\sqrt{2gh_1} | h_2 | \displaystyle \frac{-v_{0L} + \sqrt{v_{0L}^2 + 2gh_2}}{g} | \displaystyle v_{0L} + \sqrt{v_{0L}^2 + 2gh_2} |
6. Kısa Rapor Örneği
- Giriş ve Amaç: K ve L cisimlerinin serbest düşme hareketinin incelenmesi.
- Yöntem: K için v_0=0, L için v_0\neq0 alınmış; hareket denklemleri türetilip grafikler çizilmiştir.
- Sonuçlar:
- K cisminin yere çarpma hızı \sqrt{2\,g\,h_1}, L cisminin yere çarpma hızı v_{0L}+\sqrt{v_{0L}^2+2\,g\,h_2} olarak bulunmuştur.
- x–t grafikleri parabolik, v–t grafikleri doğrusal, a–t grafikleri sabittir.
- Değerlendirme: L’nin başlangıç hızı arttıkça t_L küçülür, ancak yere çarpma hızı v_{L} hem $v_{0L}’den hem de \sqrt{2gh_2}$’den dolayı daha büyük değer alır.
Bu adımları takip ederek yükseklikler, çarpma hızları ve grafikler net bir şekilde gösterilmiş olur. @Ilaydadenzpsk
K cismi h1 yüksekiginden asagı dogru atılıyor ilk hızı da 0, L cismi h2 yükseklignden serbest bırakılıyor L cisminin ilk hızı 10m/s
Bunlara göre atıldığı yükseklik yere çarpma hızını bul
## Soru (özet): K cismi h_1 yüksekliğinden v_{0K}=0 ile, L cismi h_2 yüksekliğinden v_{0L}=10\ \mathrm{m/s} ile serbest bırakılıyor. Buna göre atıldıkları yükseklikleri (doğrulamak) ve yere çarpma hızlarını hesaplamamı mı istiyorsun?
Cevaba geçmeden önce kısa bir açıklama / doğrulama isteği: fotoğraftaki sayısal değerleri (ör. h_1 ve h_2 kaç metre?) ben mi okumalıyım yoksa sen mi veriyorsun? Eğer fotoğraftaki değerleri ben okumamı istersen, resmin daha net bir bölümünü gönder (özellikle yüksekliklerin yazılı olduğu kısım). Aksi halde aşağıda genel formüller ve v_{0L}=10\ \mathrm{m/s} için adım adım nasıl hesaplanacağı verildi — sen h_1,h_2 değerlerini koyup sonucu hemen alırsın.
- Kullanacağımız sabit ve işaret konvansiyonu
- Yerçekimi ivmesi: g (isteğe bağlı: g=9{,}81\ \mathrm{m/s^2} ya da okulda sık kullanılan g=10\ \mathrm{m/s^2}).
- Aşağı yön pozitif alınmış olsun.
- K cismi (v_{0K}=0) — adımlar ve formüller
- Konum: x_K(t)=\tfrac{1}{2} g t^2
- Çarpma zamanı: t_K=\sqrt{\dfrac{2h_1}{g}}
- Yere çarpma hızı (büyüklük): v_{K,\mathrm{çarpma}}=\sqrt{2 g h_1}
(İşaretli hız almak istersen aşağı yön pozitifse v_K=+\,\sqrt{2gh_1}.)
- L cismi (v_{0L}=10\ \mathrm{m/s}) — adımlar ve formüller
- Konum: x_L(t)=v_{0L}\,t+\tfrac{1}{2} g t^2
- Çarpma zamanı: pozitif kökü al
\tfrac{1}{2}g t_L^2 + v_{0L} t_L - h_2 = 0
dolayısıyla
t_L=\dfrac{-v_{0L}+\sqrt{v_{0L}^2+2 g h_2}}{g} - Yere çarpma hızı (büyüklük): ya v_{L,\mathrm{çarpma}}=v_{0L}+g\,t_L ya da doğrudan enerji ilişkisiyle
v_{L,\mathrm{çarpma}}=\sqrt{v_{0L}^2+2 g h_2}
(her iki ifade eşdeğerdir; işaret konvansiyonuna göre hızın yönü aşağıysa pozitif alınır.)
- Hızlı örnek (gösterim için, g=10\ \mathrm{m/s^2} alınsın)
Eğer istersen hemen bir örnekle gösteririm. Örnek olarak h_1=20\ \mathrm{m} ve h_2=5\ \mathrm{m} alsak:
-
K için:
- t_K=\sqrt{\dfrac{2\cdot20}{10}}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{s}
- v_{K,\mathrm{çarpma}}=\sqrt{2\cdot10\cdot20}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m/s}
-
L için (v_{0L}=10\ \mathrm{m/s}):
- v_{L,\mathrm{çarpma}}=\sqrt{10^2+2\cdot10\cdot5}=\sqrt{100+100}=\sqrt{200}\approx 14{,}14\ \mathrm{m/s}
- t_L=\dfrac{-10+\sqrt{200}}{10}\approx \dfrac{-10+14{,}142}{10}\approx 0{,}414\ \mathrm{s}
Not: Bu örnekte L’nin başlangıç hızı 10 m/s olduğu için kısa zamanda yere ulaşır; K ise daha büyük yükseklikten (20 m) daha uzun sürede gelir ve çarpma hızı daha büyüktür.
- Ne yapmamı istersin şimdi?
- Eğer fotoğraftaki h_1 ve h_2 değerlerini gönderirsen (ve hangi g kullanmamı tercih ettiğini belirtirsen), ben saniye saniye tüm hesapları yapıp kesin çarpma zamanlarını ve çarpma hızlarını adım adım hesaplayıp yazayım.
- Ya da istersen ben resimden sayıları okumayı deneyeyim — net bir fotoğraf gönderir misin?
Hazır olduğunda hesapları yapıp sonuçları net şekilde paylaşırım. @Ilaydadenzpsk