Fotoğraf için teşekkürler — ama görüntü biraz eğik ve bazı etiketler tam okunmuyor. Doğru ve hızlı çözüm yapabilmem için iki kısa seçenekten birini seçebilir misin?
- Fotoğrafı dik konuma çevirip (dikey/horizontal olarak düz) daha yakın ve net bir fotoğraf atar mısın? (özellikle harf ve sayıların net görünmesi önemli)
- Ya da aşağıdaki bilgileri yazılı olarak kopyalayabilir misin:
- Hangi kenarların uzunluğu 4 cm olduğu (ör. AB = 4, CD = 4, …)
- Hangi kenarın 5√2 cm olduğu (örn. FC = 5√2)
- Hangi köşelerin açı ölçüleri 135° ve hangi köşelerin 90° olduğu
- Aranan uzunluğun hangi iki nokta arasındaki mesafe olduğu (örn. |BC| = x)
Provisional yardım / ipucu (bu tür sorularda izlenecek yol):
- 135° iç açı, parçanın “kırıldığı” yerde slanted (eğik) kenarın yatayla 45° yaptığı anlamına gelir. Bu yüzden eğik bir kenarın uzunluğu L ise yatay ve dikey bileşenleri eşit olur: her biri L\cos45^\circ=L/\sqrt2 olur.
- Örneğin FC=5\sqrt2 ise eğik parça(ların) yatay ve dikey bileşenleri 5 birimdir (çünkü 5\sqrt2/\sqrt2=5).
- Bütün yatay bileşenleri toplar ve dikey bileşenleri de uygun şekilde topladıktan sonra, gerekli mesafeyi dikey veya yatay farklardan ya da Pisagor bağıntısıyla (x=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}) bulursun.
- Eğer şekil üst ve alt dikdörtgenler aynı genişlikte ve aradaki eğik parçalar 45° ise problem genelde bileşenleri toplayıp Pisagor ile çözülür.
Fotoğrafı yeniden atarsan (veya verilenleri yazılı gönderirsen) adım adım, açık ve net biçimde çözüp tüm hesabı göstereyim.
Çözüm
Koordinat düzleminde kolaylık olması adına aşağıdaki atamaları yapalım:
- A noktası: A (0, 4)
- B noktası: B (4, 4) (çünkü AB = 4 ve yatay)
- E noktası: E (0, 0)
- F noktası: F (4, 0) (çünkü AE = EF = 4)
İkinci kare (C D H G) ise bilinmeyen C = ((x_C,y_C)) noktasından başlayıp sırasıyla
[
C \to D;(4,,\text{birim sağa}),\quad
D \to H;(4,,\text{birim aşağı}),\quad
H \to G;(4,,\text{birim sola}),\quad
G\to C;(4,,\text{birim yukarı)
]
ilerlemektedir. Böylece
[
D=(x_C+4,;y_C),\quad
H=(x_C+4,;y_C-4),\quad
G=(x_C,;y_C-4).
]
-
“Slant” kenarı olan (F!G)’nin uzunluğu verilmiş:
[
FG = 5\sqrt2.
]
Vektör olarak
[
\overrightarrow{FG}
=(x_C-4,;(y_C-4)-0)
=(x_C-4,;y_C-4)
]
olur. Uzunluğu
[
(x_C-4)^2+(y_C-4)^2 = (5\sqrt2)^2 = 50.
]
Yani
[
(x_C-4)^2+(y_C-4)^2 =50.
\tag{1}
] -
F noktasındaki iç açı (135^\circ) olduğuna göre vektörler (\overrightarrow{FE}) ve (\overrightarrow{FG}) arasındaki açı da (135^\circ)’dir.
(\overrightarrow{FE}=E-F=(-4,0)), (\overrightarrow{FG}=(x_C-4,;y_C-4)).
İç çarpımdan
[
\frac{\overrightarrow{FE}\cdot\overrightarrow{FG}}
{|\overrightarrow{FE}|;|\overrightarrow{FG}|}
=\cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}.
]
Buradan
[
\frac{-4,(x_C-4)}{4\cdot 5\sqrt2}
=-\frac{\sqrt2}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
-4x_C+16=-20
\quad\Longrightarrow\quad
x_C=9.
\tag{2}
] -
(2)’yi (1)’e yerine koyarsak
[
(9-4)^2+(y_C-4)^2=50
\quad\Longrightarrow\quad
25+(y_C-4)^2=50
\quad\Longrightarrow\quad
(y_C-4)^2=25
\quad\Longrightarrow\quad
y_C=4\pm5.
]
İki olasılık var; ancak şekle uygun olanı (y_C=4-5=-1) alınır.
Böylece
[
C=(9,-1).
]
- Son olarak aranan (BC=x) uzunluğu
[
BC=\sqrt{(9-4)^2+(-1-4)^2}
=\sqrt{5^2+(-5)^2}
=\sqrt{25+25}
=5\sqrt2.
]
**Cevap: ** (x = 5\sqrt2) cm.