Soru: Yandaki şekilde C noktasında bulunan fener, yatay düzlemle 30°’lik açı yapacak şekilde duvara tutulduğunda duvar üzerinde A ile D noktaları arasındaki bölgeyi aydınlatmaktadır. D ∈ [AB], AB ⟂ BC, m(∠DCB) = 30°, m(∠ACD) = 15°, |DC| = 40 birim ve |AC| = x birimdir. Buna göre x değerini bulunuz.
İçindekiler
- Problemin Anlaşılması
- Çözüm Stratejisi
- Adım Adım Hesaplamalar
3.1. CDK üçgeninden duvara yatay uzaklığın bulunması
3.2. ACK üçgeninden x uzunluğunun bulunması - Önemli Sonuçlar Tablosu
- Cevap ve Özet
1. Problemin Anlaşılması
- C noktasında yatay düzleme göre 30°’lik açı yapan CD ışın demeti, 40 birim uzunluğunda ve duvardaki D noktasına çarpmaktadır.
- Aynı duvara CA ışın demeti, CD’ye göre 15° daha yukarıda, yani yatayla toplam 30°+15°=45° açı yapacak şekilde tutulmuştur ve duvarda A noktasını aydınlatmaktadır.
- Duvar, dikey BC doğrusu üzerindedir ve BC ⟂ AB → duvar tabanı B noktasında yatay düzlemle birleşmiştir.
- Amaç, CA = x birim uzunluğunu bulmaktır.
2. Çözüm Stratejisi
- CD ışınının ΔCBD dik üçgeninde yatay (BC) ve dikey (BD) bileşenlerini trigonometrik oranlarla hesaplayacağız.
- Aynı duvar uzaklığı BC, AC ışınının ΔCBA üçgeninde yatay bileşen olarak kullanılacağından, x = AC uzunluğunu cos45° oranı ile bulacağız.
- Sonuçta elde edilen x değeri, sorunun cevabını verecektir.
3. Adım Adım Hesaplamalar
3.1. CDK üçgeninden duvara yatay uzaklığın bulunması
CD = 40 birim, ∠DCB = 30°. D ve B noktaları duvarda dikey doğruda yer alır, C ise yatay düzlem üzerindedir.
- ΔC B D üçgeninde:
- Yatay mesafe (CB) = CD · cos 30°
- Dikey yükseklik (BD) = CD · sin 30°
Hesaplamalar:
\begin{aligned}
CB &= 40 \cdot \cos 30° = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\,\sqrt{3},\\
BD &= 40 \cdot \sin 30° = 40 \cdot \frac12 = 20.
\end{aligned}
Sonuç: Duvardan C noktasına yatay uzaklık CB = 20\sqrt{3} birim.
3.2. ACK üçgeninden x uzunluğunun bulunması
AC ışını, yatayla toplam 45° açı yapmaktadır. Dolayısıyla ΔCBA üçgeninde:
- AC = x
- Yatay bileşen (CB) = x · cos 45°
Daha önce CB’yi 20\sqrt{3} olarak bulmuştuk. O hâlde:
x \cdot \cos 45° = 20\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{20\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 40\,\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 20\,\sqrt{6}.
Böylece x = 20\sqrt{6} birim olarak bulunur.
4. Önemli Sonuçlar Tablosu
| Hesaplanan Nicelik | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| CD | 40 birim | Verilen ışın uzunluğu |
| ∠DCB | 30° | CD ışınının yatayla yaptığı açı |
| CB (yatay uzaklık) | 20\sqrt{3} birim | 40\cos30° |
| BD (yükseklik D noktasında) | 20 birim | 40\sin30° |
| ∠ACB | 45° | CD’ye ek 15° → 30°+15° |
| AC = x | 20\sqrt{6} birim | x\cos45° = CB \rightarrow x = 20\sqrt{6} |
5. Cevap ve Özet
Problemin özeti: C noktasından duvara tutulan 30°’lik CD ışını 40 birim uzunluğunda duvara ulaşıyor. CA ışını ise CD’den 15° daha dik, yani 45° açıyla duvara ulaşıp A noktasını aydınlatıyor. Duvarın C noktasından olan yatay uzaklığını CD yardımıyla bulup, aynı mesafeyi AC yardımıyla trigonometrik oranla ilişkilendirerek x = AC uzunluğunu elde ettik.
Sonuç:
x = 20\,\sqrt{6} birimdir.
Soruyu Türkçe olarak yanıtlıyorum.
C noktasından duvara giden ışınların yataya göre açıları: CD ışını 30^\circ, CA ışını ise 30^\circ+15^\circ=45^\circ yapıyor. Duvar dikey ve B duvarın yere temas noktası olduğuna göre duvarı x=0 dikey doğrusu, C’yi (d,0) olarak alalım.
-
CD doğrultusunun x koordinatı denklemi: d - t\cos30^\circ = 0 olduğunda duvara temas eder; bu yüzden
|CD| = t = \frac{d}{\cos30^\circ}.Verilen |CD|=40 olduğundan
d = 40\cos30^\circ = 40\cdot\frac{\sqrt3}{2}=20\sqrt3. -
CA uzunluğu ise benzer şekilde
|CA| = s = \frac{d}{\cos45^\circ} = d\cdot\sqrt2.Buna d=20\sqrt3 koyarsak
|AC| = 20\sqrt3\cdot\sqrt2 = 20\sqrt6.
Sonuç: x=|AC|=20\sqrt6 (≈ 48.99 birim).