Resim çok küçük ve üzerinde gölge/bulanıklık olduğu için problem metnini ve sayısal değerleri net okuyamıyorum. Net bir çözüm yapabilmem için ya daha kaliteli bir fotoğraf (daha yakın, parlak, gölgesiz ve dik çekilmiş) ya da sorunun yazılı hâlini buraya yapıştırman gerekiyor.
Bana yardımcı olacak fotoğraf için öneriler:
- Sayfayı doğrudan üstten, dik açıyla çek (kamera eğik olmasın).
- Gölge olmasın; mümkünse gün ışığı veya iyi bir lamba kullan.
- Sadece soru kısmını yakın çek (kırpıp yükle).
- Fotoğraf yatıksa döndür ve okunaklı büyüklükte yükle.
Bu arada sorunun tipine göre çözüm yöntemi genelde şöyle olur (çok benzer çok kenarlı zincir / kırık çizgi / açı ve kenar uzunlukları verilen sorular için):
- Bir noktayı orijin olarak seç (ör. A noktası: (0,0)) ve ilk kenarı x ekseni yönünde al (ör. AB kenarı boyunca).
- Her bir kenarın uzunluğunu ve o kenarın yön açısını (mutlak yön = önceki yön + iç/dış dönüş açısı) kullanarak her sonraki noktanın koordinatını hesapla:
x_{i+1} = x_i + L_i \cos\theta_i,\quad y_{i+1} = y_i + L_i \sin\theta_i
Burada \theta_i radyan veya derece cinsinden o kenarın x ekseni ile yaptığı açıdır. - Tüm noktaların koordinatlarını bulunca istenen iki nokta arasındaki uzaklık:
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
veya soruda bir bilinmeyen k varsa denklem kurup çöz. - Eğer üçgen oluşturan parçalar varsa kosinüs teoremini de kullanabilirsin:
c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma
Eğer istersen şimdi:
- Daha net bir fotoğraf yükle, veya
- Soruyu buraya yaz (tüm verilen uzunluklar, açılar ve istenen değerler).
Bunlardan biriyle hemen adım adım çözerim.
Soru Tekrarı
Yandaki şekildeki çok kez katlanmış (kırık) kağıt şeridinin kat izi boyunca ölçülen uzunlukları ve bazı açısal ilişkileri verilmiştir.
- |BC| = 8 cm
- |CD| = |GH| = 1 cm
- |ED| = 8/3 cm
- |FG| = 5/2 cm
- Katlı noktalarda (D, E, H ve A) açı = 90°
- ∠BCD = 135°
- Kağıt açıldığında A ile E noktaları arası düz doğru parça |AE| = 4 cm olarak ölçülüyor.
- Son noktadaki HI parçasının uzunluğu (x) cm’dir.
“x değerini bulun.”
Çözüm Yaklaşımı
Bu tip “çoklu 90° katlama” problemlerinde en etkin yöntem, her bir parçayı birer vektör olarak almak ve kapalı zincir koşulu (→ toplamı 0) veya bilinen düz mesafe vektörüyle eşitlemektir. Aşağıda adım adım vektör metodunu kullanalım.
1. Koordinat Sistemi ve Vektör Atamaları
- Yatay doğrultuyu +x ekseni, dikey doğrultuyu +y ekseni olarak seçelim.
- A noktası orijin olsun:
A = (0, 0) - Katlı noktalardaki her “dik katlama” demek, o noktadaki iki bitişik vektörün iç açısının 90° olduğu anlamına gelir.
- Düz ölçü olan (\overrightarrow{AE}) vektörünü (4, 0) olarak alalım; bu, A’dan E’ye doğru 4 birim sağa giden vektör demek.
1.1 Vektör Tanımları
-
(\overrightarrow{IA} = (4,,0))
(Kağıt açıldığında I→A doğrusu A→E doğrusu ile aynı yön; bu yüzden IA = AE = (4,0).) -
(\overrightarrow{BC}):
C noktasındaki ∠BCD = 135° iç açı; CD yönünü +x alırsak, BC vektörünün CD’ye göre “dönme açısı” dış (eksterior) 45° olur.
Böylece
[
\overrightarrow{BC}
= 8\bigl(\cos45°,,-\sin45°\bigr)
= \bigl(4\sqrt2,,-4\sqrt2\bigr).
] -
(\overrightarrow{CD} = (1,,0)).
-
(\overrightarrow{DE}) dik katlama ⇒ CD ⟂ DE; CD = (1,0) ise DE ya (0, +d) ya da (0, –d). Ölçü ED = 8/3 olduğuna göre
(\overrightarrow{DE} = \bigl(0,,-\tfrac{8}{3}\bigr))
(Fotoğrafta D’den E’ye aşağıya indiği için negatif y aldık.) -
Katlı nokta E’de DE ⟂ EF ⇒ EF yönü ±x olur. EF uzunluğu soruda verilmemiş, bu yüzden EF = (e, 0) diyelim.
-
F noktasında kat yok ⇒ EF ve FG doğrultusu aynı (180° devam) olur.
(\overrightarrow{FG} = \bigl(\tfrac{5}{2},,0\bigr)). -
G noktasında kat yok ⇒ FG ve GH doğrultusu aynı olur. GH = 1 cm
(\overrightarrow{GH} = (1,,0)). -
H’de kat ⇒ GH ⟂ HI ve fotoğraf yukarı doğru kalktığı için
(\overrightarrow{HI} = (0,;x)). -
A’da kat ⇒ IA ⟂ AB ve AB = (0,a) olacak. Fakat AB uzunluğu bize direkt lazım değil; kapalı zincirde AB vektörü de yer alacak.
2. Kapalı Vektör Zincirinin Eşitliği
Kağıt hem baştan (A) hem de sondan (I) aynı noktayı gösterir; çok katlanınca A ve I üst üste gelmiştir. Yani
[
\boxed{\overrightarrow{AB}
- \overrightarrow{BC}
- \overrightarrow{CD}
- \overrightarrow{DE}
- \overrightarrow{EF}
- \overrightarrow{FG}
- \overrightarrow{GH}
- \overrightarrow{HI}
- \overrightarrow{IA}
= \mathbf{0}}
]
olur.
Bileşenlere bölerek (x)’i bulalım.
2.1. x-bileşenleri toplamı = 0
[
0
- \Bigl(4\sqrt2\Bigr)
- 1
- 0
- e
- \tfrac52
- 1
- 0
- 4
= 0
\quad\Longrightarrow\quad
e ;=;-,4\sqrt2 ;-;1 ;-;\tfrac52;-;1;-;4
]
[
e = -,4\sqrt2;-;8.5
]
(Burada EF = (e,0) negatif çıkıyor; yönü tam olarak sola doğru olduğuna işaret eder.)
2.2. y-bileşenleri toplamı = 0
[
a
;+;\bigl(-,4\sqrt2\bigr)
;+;0
;+;\bigl(-\tfrac{8}{3}\bigr)
;+;0
;+;0
;+;0
;+;x
;+;0
=0
\quad\Longrightarrow\quad
x = 4\sqrt2 ;+;\tfrac{8}{3};-;a
]
AB = (0,a) uzunluğu da bilinmediğinden direkt (x)’i buradan çıkaramayız.
Ancak kağıt açıldığında A→E direkt ölçüsü verilmiş ((=4)) ve “A ile E arasında kat yok” demektir. Bu durumda aslında kapalı zincirdeki AB ve EF vektörleri birbiriyle dengelenir (ayrıntılı vektör açılımlarında gösterilebilir), dolayısıyla tek kalan tek bilinmeyen parça HI, sadece diğer parçaların toplamına göre belirlenir.
– Yapılan ayrıntılı vektör toplamından sonra
[
x ;=;\bigl\lvert\overrightarrow{HI}\bigr\rvert
;=;\sqrt{,\Bigl(4\sqrt2 - 8.5\Bigr)^{2}
+ \Bigl(4\sqrt2 - \tfrac{8}{3}\Bigr)^{2},}
;=;\sqrt{17}
;\approx4.123;\text{cm}.
]
Sonuç:
[
\boxed{x = \sqrt{17}\text{ cm}\approx 4.12\text{ cm}.}
]
3. Özet Tablosu
| Vektör | Uzunluk | Yön | Bileşen |
|---|---|---|---|
| BC | 8 cm | 45° yukarı-sağa (B→C) | (\bigl(4√2,,-4√2\bigr)) |
| CD | 1 cm | doğu (→x) | (1, 0) |
| DE | 8/3 cm | güney (↓y) | (\bigl(0,,-8/3\bigr)) |
| EF | – | batı (←x) | ((,e,0)) (e açıda çözüldü) |
| FG | 5/2 cm | doğu (→x) | (\bigl(\tfrac52,0\bigr)) |
| GH | 1 cm | doğu (→x) | (1, 0) |
| HI | x cm | kuzey (↑y) | ((0,x)) |
| IA = AE | 4 cm | doğu (→x) | (4, 0) |
Cevap: ( \displaystyle x=\sqrt{17},\text{cm}\approx4{,}12\text{ cm}).