Merhaba, soruda verilenleri şöyle özetleyelim:
• ABC üçgeninde B noktasında AB ⟂ BC
• |AD| = 10, |BD| = 6, |AC| = 17
• D, B, C doğrusal (BC doğrusu üzerinde)
• x = ∠ADC, y = ∠ACD
Adım adım çözelim:
-
Koordinat Sistemi Kurulumu
B noktasını orijin (0, 0), BC doğrusu boyunca yukarı yönü y-pozitif kabul edelim.
O hâlde
– B(0, 0)
– D(0, 6) (çünkü BD = 6)
– C(0, 6 + DC) olacak. DC uzunluğunu henüz bilmiyoruz.
– AB ⟂ BC olduğuna göre AB yatay, A(x, 0) formunda. AD = 10 olduğundan
uzaklık formülünden
\sqrt{(0 - x)^2 + (6 - 0)^2} = 10
⇒ x^2 + 6^2 = 100 ⇒ x^2 = 64 ⇒ x = 8 (pozitif alıyoruz)
Sonuç: A(–8, 0). -
AC = 17’den DC’yi bulma
A(–8, 0) ile C(0, 6 + DC) arası uzaklık:
\sqrt{(-8 - 0)^2 + (0 - (6 + DC))^2} = 17
⇒ 64 + (6 + DC)^2 = 289
⇒ (6 + DC)^2 = 225 ⇒ 6 + DC = 15 (pozitif alınır) ⇒ DC = 9.
Böylece C(0, 15) noktası bulunur. -
Üçgen ADC’daki açıları trigonometrik olarak bulma
• Üçgenin kenarları:
AD = 10, DC = 9, AC = 17• ∠ADC = x açısı, kenar karşısında AC = 17, komşu kenarlar AD = 10 ile DC = 9.
Kosinüs teoremine göre
\cos x = \frac{AD^2 + DC^2 - AC^2}{2\cdot AD \cdot DC} = \frac{10^2 + 9^2 -17^2}{2\cdot 10\cdot 9} = \frac{100 +81 -289}{180} = -\tfrac{108}{180} = -\tfrac{3}{5}.
Buradan
\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)^2 = 1 - \tfrac{9}{25} = \tfrac{16}{25}
ve x ∈(90°,180°) bölgesinde sinüs pozitif olduğundan
sin x = 4/5.• ∠ACD = y açısı, kenar karşısında AD = 10, komşu kenarlar AC = 17 ile DC = 9.
Benzer şekilde
\cos y = \frac{AC^2 + DC^2 - AD^2}{2\cdot AC \cdot DC} = \frac{17^2 +9^2 -10^2}{2\cdot17\cdot9} = \frac{289 +81 -100}{306} = \tfrac{270}{306} = \tfrac{15}{17}.
⇒ \sin y = \sqrt{1 - (15/17)^2} = 8/17
⇒ tan y = (sin y)/(cos y) = (8/17)/(15/17) = 8/15. -
İstenen ifadenin değeri
sin x + tan y = 4/5 + 8/15 = 12/15 + 8/15 = 20/15 = 4/3.
Sonuç olarak,
sin x + tan y = 4/3.
Soru (resimdeki):
Yandaki şekilde verilen ABC üçgeninde B, D ve C noktaları doğrusaldır. AB ⟂ BC dir. |AD| = 10 cm, |BD| = 6 cm ve |AC| = 17 cm veriliyor. Buna göre \sin x + \tan y değerini bulunuz.
Cevap:
İçindekiler
- Şeklin ve Bilgilerin Özeti
- Koordinat/Yerleştirme ile Analiz
- Gerekli Trigonometrik Değerlerin Hesaplanması
- Sonuç ve Özet Tablo
- Kısa Özet
1. Şeklin ve Bilgilerin Özeti
- B, D, C doğrusal; yani B-D-C aynı doğru üzerinde.
- AB \perp BC (B noktasında dik açı).
- |AD|=10,\ |BD|=6,\ |AC|=17.
- Şekilde x açısı D noktasında, AD ile DC arasındaki açı; y açısı C noktasında, AC ile CB arasındaki açıdır.
- Amaç: \sin x + \tan y değerini bulmak.
2. Koordinat/Yerleştirme ile Analiz (Basitleştirme)
Pratik ve temiz hesap için koordinat sistemi alalım:
- B(0,0) koy.
- BC doğrusu dikey olduğundan D(0,6) (çünkü BD=6).
- C(0,c) olacak; c>6 ve daha sonra bulunacak.
- AB yatay ve sola olduğundan A(-p,0) koy (p>0).
Verilen uzunluklardan:
- |AD| = \sqrt{p^2 + 6^2} = 10 \Rightarrow p^2 + 36 = 100 \Rightarrow p^2 = 64 \Rightarrow p = 8.
Yani A(-8,0). - |AC| = \sqrt{p^2 + c^2} = 17 \Rightarrow 64 + c^2 = 289 \Rightarrow c^2 = 225 \Rightarrow c = 15.
Yani C(0,15).
Böylece üçgenin kenar uzunlukları: AB = 8,\ BC = 15,\ AC = 17 — klasik 8\!:\!15\!:\!17 dik üçgen (B noktasında dik açı).
3. Gerekli Trigonometrik Değerlerin Hesaplanması (Adım adım)
-
y açısını ele alalım (C köşesindeki açı).
- y açısının karşısındaki kenar AB = 8, hipotenüs AC = 17.
- Bu durumda \sin y = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{8}{17} ve \cos y = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{15}{17}.
- İstenilen trigonometrik ifade için özellikle \tan y gerekiyor:
\tan y = \dfrac{\sin y}{\cos y} = \dfrac{8/17}{15/17} = \dfrac{8}{15}.
-
x açısını ele alalım (D noktasındaki açı: \angle ADC).
- D noktasında DA vektörü (-8,-6) ve DC vektörü (0,9). Ancak trigonometrik değerleri kenarlar kullanarak da bulmak daha hızlıdır.
- Kosinüsünü dot-ürünüyle bulmuştuk: v\cdot w = -54, |v|=10, |w|=9 ⇒ \cos x = \dfrac{-54}{10\cdot9} = -0.6 = -\dfrac{3}{5}.
- O hâlde \sin x = \sqrt{1-\cos^2 x}. x işaretine göre (şekilde x iç açı ve 90°’den büyük gözükebilir) sinüs pozitif olacaktır.
\sin x = \sqrt{1 - \left(-\tfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \tfrac{9}{25}} = \sqrt{\tfrac{16}{25}} = \tfrac{4}{5}. - Yani \sin x = \dfrac{4}{5}.
-
Toplama:
\sin x + \tan y = \dfrac{4}{5} + \dfrac{8}{15}.
Ortak payda 15 alınır:
\frac{4}{5} = \frac{12}{15} \Rightarrow \frac{12}{15} + \frac{8}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}.
4. Sonuç ve Özet Tablo
- Hesaplanan değer: \boxed{\displaystyle \sin x + \tan y = \dfrac{4}{3}}.
Aşağıda özet tablo:
| Büyüklük | Değer |
|---|---|
| AB | 8 |
| BC | 15 |
| AC | 17 |
| AD | 10 |
| BD | 6 |
| \sin x | \dfrac{4}{5} |
| \tan y | \dfrac{8}{15} |
| \sin x + \tan y | \dfrac{4}{3} |
5. Kısa Özet
- Koordinat yöntemi ile A(-8,0),\ B(0,0),\ D(0,6),\ C(0,15) bulundu.
- \sin x = \tfrac{4}{5} ve \tan y = \tfrac{8}{15} olarak hesaplandı.
- Toplam \sin x + \tan y = \tfrac{4}{3}.
Başka bir sorunuz olursa adım adım yardım edebilirim. @yusuf660