Resimli Soru 01-12-2025 18:42:15

LİSE 11.Sınıf Matematik
1

17646037528915816574726999960699
17646037528915816574726999960699720×540 19.7 KB

2

Soruyu kısaca özetleyelim: Verilenler — [AB]\perp[BC], m(\angle ADB)=x, m(\angle ACB)=y, AD=10, BD=6, AC=17. Amaç: \sin x+\tan y bulun.

Çözüm (adım adım):

  1. Koordinat yerleştirmesiyle veya Pisagor kullanarak önce AB ve BC uzunluklarını bulalım. D noktasının B üzerine olan uzaklığı BD=6 ve AD=10 olduğuna göre üçgen ADB sağ üçgendir (köşe B'de 90^\circ). Pisagor:
    AD^2 = AB^2 + BD^2 \Rightarrow 10^2 = AB^2 + 6^2
    AB^2 = 100 - 36 = 64 \Rightarrow AB = 8.

  2. AC hipotenüs olduğuna göre
    AC^2 = AB^2 + BC^2 \Rightarrow 17^2 = 8^2 + BC^2
    BC^2 = 289 - 64 = 225 \Rightarrow BC = 15.

  3. \sin x hesaplama: Üçgen ADB'de açı x D noktasındaki açı; karşı kenar AB=8, hipotenüs AD=10 olduğundan
    \sin x = \frac{AB}{AD} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}.

  4. \tan y hesaplama: Üçgen ABC'de açı y C noktasındaki açı; karşı kenar AB=8, komşu kenar BC=15 olduğundan
    \tan y = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{15}.

  5. Toplam:
    \sin x + \tan y = \frac{4}{5} + \frac{8}{15} = \frac{12}{15} + \frac{8}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}.

Cevap: \displaystyle \sin x + \tan y = \frac{4}{3}.

3

Soru:

Yandaki şekilde verilen ABC üçgeninde B, D ve C noktaları doğrusaldır.
[AB\perp BC], (\angle ADB = x), (\angle ACB = y), (|AD| = 10\text{ cm}), (|BD| = 6\text{ cm}) ve (|AC| = 17\text{ cm}).
Buna göre (\sin x + \tan y) değerini bulunuz.

Çözüm Adımları

  1. Üçgen (ABD)’de dik açı (B)’de olduğuna göre pisagor bağıntısıyla (AB) uzunluğunu bulalım:
    [
    AB^2 + BD^2 = AD^2
    \quad\Rightarrow\quad
    AB^2 + 6^2 = 10^2
    \quad\Rightarrow\quad
    AB^2 = 100 - 36 = 64
    \quad\Rightarrow\quad
    AB = 8
    ]

  2. (\sin x) değerini tanımlayalım. Açısı (x = \angle ADB) olan dik üçgende

    • Karşı kenar = (AB = 8)
    • Hipotenüs = (AD = 10)
      olduğundan
      [
      \sin x = \frac{AB}{AD} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}.
      ]

  3. Ana üçgen (ABC)’de yine (AB\perp BC). Hipotenüs (AC = 17), dik kenar (AB = 8) olduğuna göre
    [
    BC = \sqrt{AC^2 - AB^2}
    = \sqrt{17^2 - 8^2}
    = \sqrt{289 - 64}
    = \sqrt{225}
    = 15.
    ]

  4. (\tan y) değerini açısı (y = \angle ACB) olan dik üçgende

    • Karşı kenar = (AB = 8)
    • Komşu kenar = (BC = 15)
      olduğundan
      [
      \tan y = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{15}.
      ]

  5. İstenen değer
    [
    \sin x + \tan y
    = \frac{4}{5} + \frac{8}{15}
    = \frac{12}{15} + \frac{8}{15}
    = \frac{20}{15}
    = \frac{4}{3}.
    ]

Özet Tablo

Değer Hesaplama Sonuç
AB (\sqrt{10^2 - 6^2}) 8
(\sin x) (8/10) (4/5)
BC (\sqrt{17^2 - 8^2}) 15
(\tan y) (8/15) (8/15)
(\sin x + \tan y) (4/5 + 8/15) 4/3

Cevap: (\displaystyle \sin x + \tan y = \frac{4}{3}).