12. Sınıf Yazılı Hazırlık Soruları Çözümleri
Soru 1:
\log_5\left(2 + \log_3(3 - \log_2 x)\right) = 1 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm:
- İlk olarak, denklemi sadeleştirelim:
\log_5\left(2 + \log_3(3 - \log_2 x)\right) = 1 \implies 2 + \log_3(3 - \log_2 x) = 5^1 = 5
- Yani:
\log_3(3 - \log_2 x) = 5 - 2 = 3
- Logaritma tanımına göre:
3 - \log_2 x = 3^3 = 27
- Buradan:
\log_2 x = 3 - 27 = -24
- Son olarak:
x = 2^{-24}
Soru 2:
\log_x (\log_x (\log_x (3x - 1))) = 0
Denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm:
- İçten dışa çözüm yapalım:
\log_x (\log_x (3x - 1)) = y
Verilen ifadeye göre:
\log_x y = 0 \implies y = x^0 = 1
Yani:
\log_x (3x - 1) = 1
- Buradan:
3x - 1 = x^1 = x
- Denklemi düzenleyelim:
3x - 1 = x \implies 3x - x = 1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}
Soru 3:
m ve n, birbirinden farklı pozitif gerçel sayılardır. m^3 = n^4 olduğuna göre,
\log_m n + \log_n m toplamının değerini bulunuz.
Çözüm:
Verilen: m^3 = n^4
Bu eşitlikten m'yi n cinsinden yazalım:
m^3 = n^4 \implies m = n^{\frac{4}{3}}
Şimdi;
\log_m n + \log_n m
İlk terim:
\log_m n = \frac{\log n}{\log m}
İkinci terim:
\log_n m = \frac{\log m}{\log n}
Burada logaritmanın tabanı aynı (örneğin 10 ya da e, fark etmez). Toplam:
\frac{\log n}{\log m} + \frac{\log m}{\log n} = \frac{(\log n)^2 + (\log m)^2}{\log m \cdot \log n}
m = n^{4/3} olduğuna göre:
\log m = \log (n^{4/3}) = \frac{4}{3} \log n
Bunu yerine koyarsak:
\frac{(\log n)^2 + \left(\frac{4}{3} \log n\right)^2} {\frac{4}{3} (\log n)^2} = \frac{(\log n)^2 + \frac{16}{9} (\log n)^2}{\frac{4}{3} (\log n)^2} = \frac{1 + \frac{16}{9}}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{9}{9} + \frac{16}{9}}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{25}{9}}{\frac{4}{3}} = \frac{25}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{25 \times 3}{9 \times 4} = \frac{75}{36} = \frac{25}{12}
Cevap: \boxed{\frac{25}{12}}
Soru 4:
m ve n, birbirinden farklı pozitif gerçel sayılardır. m^3 = n^4 olduğuna göre,
\log_n m + \log_m n toplamının değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu soru, önceki sorunun aynısıdır, sadece terimlerin sırası değişmiş. Önceki hesaplamada toplamın değişmediğini gördük.
Cevap: \boxed{\frac{25}{12}}
Soru 5:
2 = 3^a \quad \& \quad 5 = 3^b
olduğuna göre, \log_3 50 ifadesinin a ve b cinsinden değerini bulunuz.
Çözüm:
50 sayısını çarpanlarına ayıralım:
50 = 2 \times 25 = 2 \times 5^2
Logaritmasını alırsak:
\log_3 50 = \log_3 2 + \log_3 5^2 = \log_3 2 + 2 \log_3 5
Verilenlerden:
2 = 3^a \implies \log_3 2 = a
5 = 3^b \implies \log_3 5 = b
Buna göre:
\log_3 50 = a + 2b
Soru 6:
\log 2 = a, \log 3 = b olduğuna göre, \log_{36} ifadesinin a ve b türünden eşitini bulunuz.
Çözüm:
36 sayısı:
36 = 6^2 = (2 \times 3)^2
Logaritma taban değişikliği formülüne göre:
\log_{36} = \frac{\log}{\log 36}
Burada logaritmanın tabanı 10 alırsak:
\log_{36} = \frac{\log}{\log 36} = \frac{\log}{\log (2^2 \times 3^2)} = \frac{\log}{2 \log 2 + 2 \log 3} = \frac{\log}{2a + 2b} = \frac{\log}{2(a + b)}
Soru 7:
3^{\log_5 x} + 5^{\log_3 x} = 18
eşitliğini sağlayan x sayısı kaçtır?
Çözüm:
Bu tip denklemleri logaritma kuralları ve değişken dönüşümleri ile çözelim.
İpucu:
\log_5 x = u ise x = 5^u
Birinci terim:
3^{\log_5 x} = 3^u
İkinci terim:
5^{\log_3 x}
Burada:
\log_3 x = \frac{\log_5 x}{\log_5 3} = \frac{u}{\log_5 3}
İkinci terim:
5^{\log_3 x} = 5^{\frac{u}{\log_5 3}} = (5^{\log_5 3})^{\frac{u}{\log_5 3}} = 3^u
Yani ikinci terim de 3^u oldu. O halde:
3^u + 3^u = 18 \implies 2 \times 3^u = 18 \implies 3^u = 9 \implies 3^u = 3^2 \implies u = 2
u = \log_5 x = 2 → x = 5^2 = 25
Soru 8:
5^{\log_3 x} + 3^{\log_5 x} = 50
denkleminde x değeri kaçtır?
Çözüm:
Benzer şekilde, \log_3 x = p ise x = 3^p.
Birinci terim:
5^{\log_3 x} = 5^p
İkinci terim:
3^{\log_5 x} = 3^{\frac{\log_3 x}{\log_3 5}} = 3^{\frac{p}{\log_3 5}} = (3^{\log_3 5})^{\frac{p}{\log_3 5}} = 5^p
Yani iki terim eşittir, toplam:
5^p + 5^p = 50 \implies 2 \times 5^p = 50 \implies 5^p = 25 \implies p = 2
Buradan:
x = 3^p = 3^2 = 9
Soru 9:
\log_2 3 = m
olduğuna göre, \log_6 72 ifadesinin m türünden eşiti nedir?
Çözüm:
- Büyük deterimini sadeleştirelim:
\log_6 72 = \frac{\log 72}{\log 6}
Burada, 10 tabanında \log alınmıştır.
İfadeleri m cinsinden yazalım.
- Öncelikle, \log 2 ve \log 3 için:
\log_2 3 = m \implies m = \frac{\log 3}{\log 2} \implies \log 3 = m \log 2
- 72 sayısı:
72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2
- 6 sayısı:
6 = 2 \times 3
- Yerine koyarsak:
[
\log_6 72 = \frac{\log (2^3 \times 3^2)}{\log (2 \times 3)} = \frac{3 \log 2 + 2 \log 3}{\log 2 + \log 3}
]
- \log 3 = m \log 2 olduğuna göre:
[
= \frac{3 \log 2 + 2 m \log 2}{\log 2 + m \log 2} = \frac{(3 + 2m) \log 2}{(1 + m) \log 2} = \frac{3 + 2m}{1 + m}
]
Soru 10:
\log 2 = a olduğuna göre, \log_{50} 32 ifadesinin a cinsinden eşitini bulunuz.
Çözüm:
- Tablo değişikliği formülü:
\log_{50} 32 = \frac{\log 32}{\log 50}
- Sayıları asal çarpanlarına ayrılır:
32 = 2^5
50 = 2 \times 5^2
- Logaritma ifadeleri:
\log 32 = \log 2^5 = 5 \log 2 = 5a
-
\log 50 = \log (2 \times 5^2) = \log 2 + 2 \log 5 = a + 2 \log 5
-
\log 5'i a cinsinden yazabilmek için önce \log 10 = 1 (taban 10 varsaydık) ve 5 = \frac{10}{2} \implies \log 5 = 1 - \log 2 = 1 - a
-
Öyleyse:
\log 50 = a + 2(1 - a) = a + 2 - 2a = 2 - a
- Son olarak:
\log_{50} 32 = \frac{5a}{2 - a}
Özet Tablosu
| No | Soru Özeti | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | \log_5(2+\log_3(3-\log_2x))=1 | x = 2^{-24} |
| 2 | \log_x(\log_x(\log_x(3x-1)))=0 | x = \frac{1}{2} |
| 3 | m^3 = n^4, \log_m n + \log_n m | \frac{25}{12} |
| 4 | Aynı soru 3 | \frac{25}{12} |
| 5 | 2=3^a, 5=3^b, \log_3 50 | a + 2b |
| 6 | \log 2 = a, \log 3 = b, \log_{36} | \frac{\log}{2(a+b)} |
| 7 | 3^{\log_5 x} + 5^{\log_3 x} = 18 | x=25 |
| 8 | 5^{\log_3 x} + 3^{\log_5 x} = 50 | x=9 |
| 9 | \log_2 3 = m, \log_6 72 | \frac{3 + 2m}{1 + m} |
| 10 | \log 2 = a, \log_{50} 32 | \frac{5a}{2 - a} |
Sonuç
Bu çözümlerle 12. sınıf logaritma sorularını detaylı şekilde adım adım çözmüş olduk. Her soruda logaritmanın temel özelliklerinden faydalanarak bilinmeyenler ifade edildi ve işlemler yapıldı. Başarılar dilerim!