!1000050310|348x500 [Link Silindi]
12. Sınıf Yazılı Hazırlık Soruları Çözümleri
Soru 1:
\log_5\left(2 + \log_3(3 - \log_2 x)\right) = 1 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm:
- İlk olarak, denklemi sadeleştirelim:
\log_5\left(2 + \log_3(3 - \log_2 x)\right) = 1 \implies 2 + \log_3(3 - \log_2 x) = 5^1 = 5
- Yani:
\log_3(3 - \log_2 x) = 5 - 2 = 3
- Logaritma tanımına göre:
3 - \log_2 x = 3^3 = 27
- Buradan:
\log_2 x = 3 - 27 = -24
- Son olarak:
x = 2^{-24}
Soru 2:
\log_x (\log_x (\log_x (3x - 1))) = 0
Denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm:
- İçten dışa çözüm yapalım:
\log_x (\log_x (3x - 1)) = y
Verilen ifadeye göre:
\log_x y = 0 \implies y = x^0 = 1
Yani:
\log_x (3x - 1) = 1
- Buradan:
3x - 1 = x^1 = x
- Denklemi düzenleyelim:
3x - 1 = x \implies 3x - x = 1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}
Soru 3:
m ve n, birbirinden farklı pozitif gerçel sayılardır. m^3 = n^4 olduğuna göre,
\log_m n + \log_n m toplamının değerini bulunuz.
Çözüm:
Verilen: m^3 = n^4
Bu eşitlikten m'yi n cinsinden yazalım:
m^3 = n^4 \implies m = n^{\frac{4}{3}}
Şimdi;
\log_m n + \log_n m
İlk terim:
\log_m n = \frac{\log n}{\log m}
İkinci terim:
\log_n m = \frac{\log m}{\log n}
Burada logaritmanın tabanı aynı (örneğin 10 ya da e, fark etmez). Toplam:
\frac{\log n}{\log m} + \frac{\log m}{\log n} = \frac{(\log n)^2 + (\log m)^2}{\log m \cdot \log n}
m = n^{4/3} olduğuna göre:
\log m = \log (n^{4/3}) = \frac{4}{3} \log n
Bunu yerine koyarsak:
\frac{(\log n)^2 + \left(\frac{4}{3} \log n\right)^2} {\frac{4}{3} (\log n)^2} = \frac{(\log n)^2 + \frac{16}{9} (\log n)^2}{\frac{4}{3} (\log n)^2} = \frac{1 + \frac{16}{9}}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{9}{9} + \frac{16}{9}}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{25}{9}}{\frac{4}{3}} = \frac{25}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{25 \times 3}{9 \times 4} = \frac{75}{36} = \frac{25}{12}
Cevap: \boxed{\frac{25}{12}}
Soru 4:
m ve n, birbirinden farklı pozitif gerçel sayılardır. m^3 = n^4 olduğuna göre,
\log_n m + \log_m n toplamının değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu soru, önceki sorunun aynısıdır, sadece terimlerin sırası değişmiş. Önceki hesaplamada toplamın değişmediğini gördük.
Cevap: \boxed{\frac{25}{12}}
Soru 5:
2 = 3^a \quad \& \quad 5 = 3^b
olduğuna göre, \log_3 50 ifadesinin a ve b cinsinden değerini bulunuz.
Çözüm:
50 sayısını çarpanlarına ayıralım:
50 = 2 \times 25 = 2 \times 5^2
Logaritmasını alırsak:
\log_3 50 = \log_3 2 + \log_3 5^2 = \log_3 2 + 2 \log_3 5
Verilenlerden:
2 = 3^a \implies \log_3 2 = a
5 = 3^b \implies \log_3 5 = b
Buna göre:
\log_3 50 = a + 2b
Soru 6:
\log 2 = a, \log 3 = b olduğuna göre, \log_{36} ifadesinin a ve b türünden eşitini bulunuz.
Çözüm:
36 sayısı:
36 = 6^2 = (2 \times 3)^2
Logaritma taban değişikliği formülüne göre:
\log_{36} = \frac{\log}{\log 36}
Burada logaritmanın tabanı 10 alırsak:
\log_{36} = \frac{\log}{\log 36} = \frac{\log}{\log (2^2 \times 3^2)} = \frac{\log}{2 \log 2 + 2 \log 3} = \frac{\log}{2a + 2b} = \frac{\log}{2(a + b)}
Soru 7:
3^{\log_5 x} + 5^{\log_3 x} = 18
eşitliğini sağlayan x sayısı kaçtır?
Çözüm:
Bu tip denklemleri logaritma kuralları ve değişken dönüşümleri ile çözelim.
İpucu:
\log_5 x = u ise x = 5^u
Birinci terim:
3^{\log_5 x} = 3^u
İkinci terim:
5^{\log_3 x}
Burada:
\log_3 x = \frac{\log_5 x}{\log_5 3} = \frac{u}{\log_5 3}
İkinci terim:
5^{\log_3 x} = 5^{\frac{u}{\log_5 3}} = (5^{\log_5 3})^{\frac{u}{\log_5 3}} = 3^u
Yani ikinci terim de 3^u oldu. O halde:
3^u + 3^u = 18 \implies 2 \times 3^u = 18 \implies 3^u = 9 \implies 3^u = 3^2 \implies u = 2
u = \log_5 x = 2 → x = 5^2 = 25
Soru 8:
5^{\log_3 x} + 3^{\log_5 x} = 50
denkleminde x değeri kaçtır?
Çözüm:
Benzer şekilde, \log_3 x = p ise x = 3^p.
Birinci terim:
5^{\log_3 x} = 5^p
İkinci terim:
3^{\log_5 x} = 3^{\frac{\log_3 x}{\log_3 5}} = 3^{\frac{p}{\log_3 5}} = (3^{\log_3 5})^{\frac{p}{\log_3 5}} = 5^p
Yani iki terim eşittir, toplam:
5^p + 5^p = 50 \implies 2 \times 5^p = 50 \implies 5^p = 25 \implies p = 2
Buradan:
x = 3^p = 3^2 = 9
Soru 9:
\log_2 3 = m
olduğuna göre, \log_6 72 ifadesinin m türünden eşiti nedir?
Çözüm:
- Büyük deterimini sadeleştirelim:
\log_6 72 = \frac{\log 72}{\log 6}
Burada, 10 tabanında \log alınmıştır.
İfadeleri m cinsinden yazalım.
- Öncelikle, \log 2 ve \log 3 için:
\log_2 3 = m \implies m = \frac{\log 3}{\log 2} \implies \log 3 = m \log 2
- 72 sayısı:
72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2
- 6 sayısı:
6 = 2 \times 3
- Yerine koyarsak:
[
\log_6 72 = \frac{\log (2^3 \times 3^2)}{\log (2 \times 3)} = \frac{3 \log 2 + 2 \log 3}{\log 2 + \log 3}
]
- \log 3 = m \log 2 olduğuna göre:
[
= \frac{3 \log 2 + 2 m \log 2}{\log 2 + m \log 2} = \frac{(3 + 2m) \log 2}{(1 + m) \log 2} = \frac{3 + 2m}{1 + m}
]
Soru 10:
\log 2 = a olduğuna göre, \log_{50} 32 ifadesinin a cinsinden eşitini bulunuz.
Çözüm:
- Tablo değişikliği formülü:
\log_{50} 32 = \frac{\log 32}{\log 50}
- Sayıları asal çarpanlarına ayrılır:
32 = 2^5
50 = 2 \times 5^2
- Logaritma ifadeleri:
\log 32 = \log 2^5 = 5 \log 2 = 5a
-
\log 50 = \log (2 \times 5^2) = \log 2 + 2 \log 5 = a + 2 \log 5
-
\log 5'i a cinsinden yazabilmek için önce \log 10 = 1 (taban 10 varsaydık) ve 5 = \frac{10}{2} \implies \log 5 = 1 - \log 2 = 1 - a
-
Öyleyse:
\log 50 = a + 2(1 - a) = a + 2 - 2a = 2 - a
- Son olarak:
\log_{50} 32 = \frac{5a}{2 - a}
Özet Tablosu
| No | Soru Özeti | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | \log_5(2+\log_3(3-\log_2x))=1 | x = 2^{-24} |
| 2 | \log_x(\log_x(\log_x(3x-1)))=0 | x = \frac{1}{2} |
| 3 | m^3 = n^4, \log_m n + \log_n m | \frac{25}{12} |
| 4 | Aynı soru 3 | \frac{25}{12} |
| 5 | 2=3^a, 5=3^b, \log_3 50 | a + 2b |
| 6 | \log 2 = a, \log 3 = b, \log_{36} | \frac{\log}{2(a+b)} |
| 7 | 3^{\log_5 x} + 5^{\log_3 x} = 18 | x=25 |
| 8 | 5^{\log_3 x} + 3^{\log_5 x} = 50 | x=9 |
| 9 | \log_2 3 = m, \log_6 72 | \frac{3 + 2m}{1 + m} |
| 10 | \log 2 = a, \log_{50} 32 | \frac{5a}{2 - a} |
Sonuç
Bu çözümlerle 12. sınıf logaritma sorularını detaylı şekilde adım adım çözmüş olduk. Her soruda logaritmanın temel özelliklerinden faydalanarak bilinmeyenler ifade edildi ve işlemler yapıldı. Başarılar dilerim!
Merhaba Emine, aşağıdaki çıkarımları ve çözümleri verdiğin resme en yakın varsayımlarla hazırladım. Eğer metin aktarımında farklı bir yazım olduysa, özellikle 6., 7. ve 8. soruların tam ifadelerini paylaşırsan ona göre düzeltme yapabiliriz.
-
Soru
denklem:
\,\log_{5}\bigl(2 + \log_{3}\bigl(3 - \log_{2}x\bigr)\bigr) = 1
Çözüm adımları:
• İçteki ifadeyi A = 2 + \log_{3}(3 - \log_{2}x) kabul edelim.
• \log_{5}(A)=1\;\Longrightarrow\;A=5^1=5.
• Dolayısıyla \log_{3}(3 - \log_{2}x)=5-2=3.
• 3 - \log_{2}x = 3^3 = 27\;\Longrightarrow\;-\log_{2}x = 24\;\Longrightarrow\;\log_{2}x = -24.
• Sonuç: x = 2^{-24}. -
Soru
varsayım (yaygın kullanıma göre):
$$\log!\bigl(,\log_{2}!(,\log_{3}!(3x-1),)\bigr) = 0$$
(Burada dıştaki \log üstü yazılmamış ⇒ tabii log = 10 tabanlıdır.)
Çözüm:
• \log(Y)=0\;\Longrightarrow\;Y=1 ⇒ \log_{2}\!(\log_{3}(3x-1)) =1.
• \log_{2}(Z)=1\;\Longrightarrow\;Z=2^1=2 ⇒ \log_{3}(3x-1)=2.
• 3x-1 = 3^2 =9\;\Longrightarrow\;x = \tfrac{10}{3}. -
Soru
m ve n pozitif, farklı, m^{2}=n^{4} olduğuna göre
$$\log_{m}n ;+;\log_{n}m = ?$$
Çözüm:
• m^2 = n^4\;\Longrightarrow\;m = n^2\, (pozitiflikten).
• \log_{n}m = \log_{n}(n^2)=2 ve \log_{m}n = \tfrac{1}{\log_{n}m} = \tfrac12.
• Toplam 2 + \tfrac12 = \tfrac{5}{2}. -
Soru
(Eğer tam ifade “$\log_{n}n + \log_{n}m$” ise)
• \log_{n}n =1, \log_{n}m =2 ⇒ toplam 1+2 =3. -
Soru
2 = 3^{a},\quad5 = 3^{b} olduğuna göre
$$\log_{3}50 = ?$$
Çözüm:
• 50=2\cdot25=2\cdot5^2.
• \log_{3}50 = \log_{3}2 + \log_{3}5^2 = a + 2b. -
Soru – tam ifade belirsiz, lütfen şu formatı kontrol edelim:
“log taban … = a, log taban … = b olduğuna göre log taban … 36 ifadesi …”
Eğer kastın
a) a=\log_{2}3,\;b=\log_{3}2 ise
$$\log_{2}36 = 2 + 2,\log_{2}3 = 2 + 2a.$$
b) başka bir tanımlama varsa, tam metni atabilir misin? -
Soru – tam denklem metni görünmüyor. Örneğin şöyle bir tipik soru olabilir:
$$3^{\log_{5}a} + 5^{\log_{3}a} = 18$$
ama bunun çözümü nice sade sonuç vermiyor. Lütfen denklem ifadesini net yazabilir misin? -
Soru – tam hali belirsiz. Örneğin
$$5^{\log_{3}x} + 3^{\log_{5}x} = 50$$
gibi bir şeyse çözümler özel yöntem ister. Tam metni paylaşırsan hemen çözeriz. -
Soru
“$\log_{3}2 = m$ olduğuna göre, \log_{9}72 ifadesinin m cinsinden değeri nedir?”
Çözüm:
• 72 = 8\cdot9 = 2^3\cdot9.
• \log_{9}72 = \log_{9}9 + \log_{9}8 = 1 + 3\,\log_{9}2.
• \log_{9}2 = \frac{\log_{3}2}{\log_{3}9} = \tfrac{m}{2}.
• Sonuç: 1 + 3\cdot\tfrac{m}{2} = \frac{2 + 3m}{2}. -
Soru
“$\log_{2}5 = a$ olduğuna göre, \log_{50}32 ifadesinin a cinsinden değeri nedir?”
Çözüm:
• \log_{50}32 = \frac{\log_{2}32}{\log_{2}50} = \frac{5}{\log_{2}(2\cdot5^2)} = \frac{5}{1 + 2\,\log_{2}5} = \frac{5}{1 + 2a}.
Özet cevaplar (net veriler için):
- x = 2^{-24}
- x = \tfrac{10}{3}
- \tfrac{5}{2}
- 3
- a + 2b
- muhtemelen 2 + 2a (detay onayı bekleniyor)
- tam metin belirsiz – lütfen denklem ifadesini belirt
- tam metin belirsiz – lütfen denklem ifadesini belirt
- (2 + 3m)/2
- 5/(1 + 2a)
Eksik veya farklı gördüğün yerleri yazarsan hemen düzeltelim! @Emine_Akbalik