Resimli soruda istenen: İki trenin boy uzunluklarının en az kaç metre olduğunu bulmak için gereken adımlar nelerdir?
Soruda verilen:
- İki tren aynı boyda (yani toplam uzunlukları eşit).
- Bir trenin her bir vagonu 16 m.
- Diğer trenin her bir vagonu 20 m.
- Trenlerin toplam uzunluklarının ortak bir tam sayı katı olarak en az kaç metre olduğunu bulmamız isteniyor.
Sorunun Çözümü
İki trenin boy uzunluğu eşit olduğuna göre:
- İlk trenin uzunluğu: 16 \times a (a vagon sayısı)
- İkinci trenin uzunluğu: 20 \times b (b vagon sayısı)
Burada a ve b pozitif tam sayılardır.
Toplam uzunlukların eşit olması için:
16a = 20b
Bu eşitliği sağlayan en küçük pozitif çözümü bulmak için aşağıdaki adımları izliyoruz.
1. En Küçük Ortak Kat (EKOK) Bulma
Verilen iki sayı: 16 ve 20
Bu iki sayının EKOK’u, yani ortak katlarının en küçüğü, aynı zamanda trenlerin boy uzunluğunun da en küçük olası değeri olacaktır. Çünkü 16a ve 20b değerleri eşit olmalı.
16 ve 20 Sayılarının EKOK’unu Hesaplama
- İlk olarak, sayıların asal çarpanlarına ayrılması:
16 = 2^4 \\
20 = 2^2 \times 5
- EKOK, her asal sayının en yüksek üslerinin çarpımıdır:
EKOK(16, 20) = 2^4 \times 5 = 16 \times 5 = 80
2. Kat Sayıları Bulma
Şimdi en küçük ortak uzunluk 80 metredir. Bu durumda:
- 16a = 80 \Rightarrow a = \frac{80}{16} = 5
- 20b = 80 \Rightarrow b = \frac{80}{20} = 4
Yani, birinci trenin 5 vagonu, ikinci trenin 4 vagonu vardır.
Sonuç:
- Trenlerin boy uzunluklarının en az 80 metre olması gerekir.
- Bu da her trenin toplam uzunluğunun en küçük ortak katına eşittir.
Özet Tablosu
| Tren No | Bir Vagon Uzunluğu (m) | Vagon Sayısı | Toplam Uzunluk (m) |
|---|---|---|---|
| 1. Tren | 16 | 5 | 16 \times 5 = 80 |
| 2. Tren | 20 | 4 | 20 \times 4 = 80 |
Genel Formül:
İki trenin vagon uzunlukları aynı ve x, y ise:
\text{En az toplam uzunluk} = \text{EKOK}(x, y)
vagon sayıları da,
a = \frac{\text{EKOK}(x, y)}{x} \quad , \quad b = \frac{\text{EKOK}(x, y)}{y}
şeklinde bulunur.
@Asuman_Akbayrak sorunuz varsa bana yazabilirsiniz.