Resimli Soru 01-10-2025 01:33:18

YKS TYT
1

IMG_1392
IMG_13922340×900 201 KB

2

Soru:

p(x), baş katsayısı 1 olan 5. dereceden bir polinom ve

p(1) = 11, \quad p(2) = 47, \quad p(3) = 11, \quad p(4) = -79, \quad p(5) = 11

veriliyor. Buna göre p(0) kaçtır?

Çözüm:

İlk olarak, polinomun derecesi 5 ve baş katsayısı 1 olduğuna göre genel formda:

p(x) = x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0

olarak yazabiliriz. Ancak doğrudan katsayıları bulmaya çalışmak yerine, verilen p(x) değerlerinden yararlanarak daha pratik bir yol izleyebiliriz.

1. Polinomdan yardımcı bir polinom tanımlayalım.

Verilenleri inceleyelim.

p(1) = 11, p(3) = 11, p(5) = 11 şeklinde aynı değerler var. Bu, x=1,3,5 noktalarında p(x) - 11 = 0 demektir. Yani,

q(x) = p(x) - 11

polinomunun kökleri 1, 3 ve 5.

Bu durumda,

q(1) = q(3) = q(5) = 0

dir.

Bu yüzden q(x) polinomu, (x-1), (x-3) ve (x-5) polinomlarının çarpanı olmalı:

q(x) = (x-1)(x-3)(x-5) \cdot h(x)

şeklinde yazılabilir. Burada h(x) ne olabilir? p(x) 5. derece olduğuna göre:

  • (x-1)(x-3)(x-5) 3. dereceli

  • p(x) 5. dereceli

Bunun için h(x) 2. dereceli polinom olmalı.

Yani:

q(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(A x^2 + B x + C)

Burada A, B, C katsayılarını bulacağız.

2. Baş katsayı kontrolü

p(x) = q(x) + 11

Baş katsayı p(x) için 1.

Baş katsayısına bakalım:

  • (x-1)(x-3)(x-5)'in önündeki katsayı 1 (çünkü çarpımları hesaplarsak ortada katsayılar var ama genellikle sağlanır)

  • h(x)'in derecesi 2, baş katsayısı A

Dolayısıyla, baş katsayı toplamda:

1 \cdot A = \text{baş katsayı} = 1 \implies A=1

3. Q(x) polinomunu açalım

Öncelikle:

(x-1)(x-3)(x-5) = [(x-1)(x-3)] (x-5)

Hesaplayalım:

  • (x-1)(x-3) = x^2 -4x +3

Sonra:

(x^2 -4x +3)(x-5) = x^3 - 5x^2 -4x^2 +20x + 3x - 15 = x^3 -9x^2 +23x -15

Yani,

(x-1)(x-3)(x-5) = x^3 - 9x^2 + 23 x - 15

4. q(x) = (x^3 - 9x^2 + 23 x - 15)(x^2 + B x + C)

Çünkü A=1 olarak bulundu.

Şimdi bunu açalım.

q(x) = (x^3 - 9 x^2 + 23 x - 15)(x^2 + B x + C)

Açılım:

= x^3 \cdot x^2 + x^3 \cdot B x + x^3 \cdot C - 9 x^2 \cdot x^2 - 9 x^2 \cdot B x -9 x^2 \cdot C + 23 x \cdot x^2 + 23 x \cdot B x + 23 x \cdot C - 15 \cdot x^2 - 15 \cdot B x - 15 \cdot C

Sadeleştirilmiş:

= x^5 + B x^{4} + C x^{3} - 9 x^{4} - 9 B x^{3} - 9 C x^{2} + 23 x^{3} + 23 B x^{2} + 23 C x - 15 x^{2} - 15 B x - 15 C

Şimdi derecelere göre terimleri toplayalım:

  • Derece 5: x^5

  • Derece 4: (B - 9) x^{4}

  • Derece 3: (C - 9 B + 23) x^{3}

  • Derece 2: (-9 C + 23 B - 15) x^{2}

  • Derece 1: (23 C - 15 B) x

  • Derece 0: -15 C

5. Verilen diğer değerlerle B, C bulunması

Hatırlayalım:

q(x) = p(x) - 11

İşte burada geldik önemli kısma.

p(2) = 47 olduğundan,

q(2) = p(2) - 11 = 47 - 11 = 36

Benzer şekilde p(4) = -79 olduğundan,

q(4) = p(4) - 11 = -79 - 11 = -90

Bu iki değerden B, C için iki denkleme sahibiz.

6. q(2) ve q(4) ifadeleri:

Öncelikle q(x) genel halini:

q(x) = x^{5} + (B - 9) x^{4} + (C - 9B + 23) x^{3} + (-9C + 23 B - 15) x^{2} + (23 C - 15 B) x - 15 C

İlk olarak x=2 için:

q(2) = 2^5 + (B - 9) 2^{4} + (C - 9 B + 23) 2^{3} + (-9 C + 23 B - 15) 2^{2} + (23 C - 15 B) 2 - 15 C

Hesaplayalım:

  • 2^5 = 32

  • 2^4 = 16

  • 2^3 = 8

  • 2^2 = 4

Yerine yazalım:

q(2) = 32 + (B - 9) \cdot 16 + (C - 9 B + 23) \cdot 8 + (-9 C + 23 B -15) \cdot 4 + (23 C - 15 B) \cdot 2 - 15 C

Bunu açalım:

32 + 16 B - 144 + 8 C - 72 B + 184 -36 C + 92 B - 60 + 46 C - 30 B - 15 C

Şimdi terimleri toplayalım:

  • Sayısal terimler:
32 - 144 + 184 - 60 = 32 - 144 = -112 + 184 = 72 - 60 = 12
  • B terimleri:
16 B - 72 B + 92 B - 30 B = (16 -72 +92 -30) B = (16 -72 = -56 + 92 = 36 -30) = 6 B
  • C terimleri:
8 C - 36 C + 46 C - 15 C = (8 -36 + 46 -15) C = (8 -36 = -28 + 46 = 18 -15) = 3 C

Sonuç:

q(2) = 12 + 6 B + 3 C

Bilinen: q(2) = 36 olduğundan,

12 + 6 B + 3 C = 36

Sadeleştirirsek,

6 B + 3 C = 24 \implies 2 B + C = 8 \quad (1)

7. q(4) için benzer işlem:

x=4 için:

q(4) = 4^5 + (B - 9) 4^4 + (C - 9 B + 23) 4^3 + (-9 C + 23 B -15) 4^2 + (23 C - 15 B) 4 - 15 C

Hesaplayalım:

  • 4^5 = 1024

  • 4^4 = 256

  • 4^3 = 64

  • 4^2 = 16

Yani,

q(4) = 1024 + (B - 9) \cdot 256 + (C - 9 B + 23) \cdot 64 + (-9 C + 23 B - 15) \cdot 16 + (23 C - 15 B) \cdot 4 - 15 C

Açalım:

1024 + 256 B - 2304 + 64 C - 576 B + 1472 - 144 C + 368 B - 240 + 92 C - 60 B - 15 C

Şimdi terimleri toplayalım:

  • Sayısal terimler:
1024 - 2304 + 1472 - 240 = (1024 - 2304 = -1280 + 1472 = 192 - 240) = -48
  • B terimleri:
256 B - 576 B + 368 B - 60 B = (256 - 576 = -320 + 368 = 48 - 60) = -12 B
  • C terimleri:
64 C - 144 C + 92 C - 15 C = (64 - 144 = -80 + 92 = 12 - 15) = -3 C

Buna göre,

q(4) = -48 - 12 B - 3 C

Verilen: q(4) = -90 olduğundan,

-48 - 12 B - 3 C = -90

Sadeleştirirsek,

-12 B - 3 C = -42 \implies 12 B + 3 C = 42 \implies 4 B + C = 14 \quad (2)

8. (1) ve (2) denklemlerini çözelim

Denklemler:

\begin{cases} 2 B + C = 8 \\ 4 B + C = 14 \end{cases}

Yukarıdaki sistemden çıkarma yapalım:

(4 B + C) - (2 B + C) = 14 - 8 \implies 2 B = 6 \implies B = 3

B’yi birinci denkleme yerine koyalım:

2 \cdot 3 + C = 8 \implies 6 + C = 8 \implies C = 2

9. Son olarak p(0)'ı bulalım.

Hatırlayalım,

p(x) = q(x) + 11

Bildiğimize göre,

p(0) = q(0) + 11

q(x) ifadesi:

q(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x^2 + B x + C) \quad \text{ve} \quad B=3, \quad C=2

x=0 için,

q(0) = (0 - 1)(0 - 3)(0 - 5)(0^2 + 3 \cdot 0 + 2) = (-1)(-3)(-5)(2) = (-1 \times -3) \times (-5) \times 2

İşlem:

  • (-1 \times -3) = 3

  • 3 \times (-5) = -15

  • -15 \times 2 = -30

Yani,

q(0) = -30

Sonuç olarak,

p(0) = q(0) + 11 = -30 + 11 = -19

Cevap:

p(0) = -19

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
q(x) = p(x) - 11 q(x) için kökler 1,3,5
q(x) ifadesi q(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x^2 + B x + C)
Baş katsayı A=1 h(x) = x^2 + Bx + C
q(2), q(4) için denklemler 2 B + C = 8, 4 B + C =14
Denklemler çözümü B=3, C=2
q(0) hesaplama (-1)(-3)(-5)(2) = -30
p(0) sonucu p(0) = q(0) + 11 = -30 + 11 = -19 -19

Eğer başka sorunuz olursa, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım. @Sinem07