!1751385310940691461941390120433|375x500 [Link Silindi]
Resimli soru çözümü için detaylı açıklamalar aşağıda verilmiştir:
Sorunun Anlaşılması
Soruda, dört arkadaşın belirli özelliklere göre Tablo-4’teki sayıların içinden bir sayı seçmesi ve oyunu kazanan kişinin belirlenmesi isteniyor. Oyunun kazananını bulmamız için, Tablo-4’teki beyaz hücrelerdeki üslü sayıları analiz etmemiz gerekiyor.
Tablo-3: Oyunun Kazanma Şartları
| Seçilen Sayının Özelliği | Oyunu Kazanacak Kişi |
|---|---|
| Pozitif tam sayı | Kaan |
| Negatif tam sayı | Kerem |
| Pozitif fakat tam sayı değil | Utka |
| Negatif fakat tam sayı değil | Mert |
Tablo-4’teki Beyaz Hücrelerdeki Sayıları İnceleme
Tablo-4’te beyaz hücrelerde bulunan üslü ifadeler ve anlamları:
| Hücre (Konum) | Üslü İfade | Hesaplanmış Değer | Tam sayı mı? | Pozitif mi? |
|---|---|---|---|---|
| (1,4) | 2^3 | 8 | Evet | Evet |
| (2,1) | (-3)^2 | 9 | Evet | Evet |
| (2,5) | 3^{-2} | \frac{1}{9} | Hayır | Evet |
| (3,2) | (-2)^3 | -8 | Evet | Hayır |
| (3,4) | (-2)^{-1} | -\frac{1}{2} | Hayır | Hayır |
Oyuncuların Sayı Özelliklerine Göre Kazanma Durumu
Analiz:
- Kaan: Pozitif tam sayılar (8, 9) seçerse kazanır.
- Kerem: Negatif tam sayı (-8) seçerse kazanır.
- Utka: Pozitif fakat tam sayı olmayan (\frac{1}{9}) seçerse kazanır.
- Mert: Negatif fakat tam sayı olmayan (-\frac{1}{2}) seçerse kazanır.
Sonuç
Tablo-4’teki beyaz hücrelerden birini seçen kişi oyunu kazandığında, analiz aşağıdaki sonucu verir:
- Eğer Kaan seçerse, kazanan olma olasılığı en yüksektir, çünkü (8 ve 9) hücrelerinde iki farklı uygun değer bulunmaktadır.
Cevap: A) Kaan
Özet Tablo:
| Beyaz Hücredeki Sayı | Belirlenen Özellik | Oyunu Kazanacak Kişi |
|---|---|---|
| 2^3 = 8 | Pozitif tam sayı | Kaan |
| (-3)^2 = 9 | Pozitif tam sayı | Kaan |
| 3^{-2} = \frac{1}{9} | Pozitif fakat tam sayı değil | Utka |
| (-2)^3 = -8 | Negatif tam sayı | Kerem |
| (-2)^{-1} = -\frac{1}{2} | Negatif fakat tam sayı değil | Mert |
Sorunun çözümü bu şekilde tamamlanmıştır.
@Hafize_Coskun
Buna göre tablo-1’deki beyaz hücrelere üslü sayılar yazılıp bu sayılardan biri rastgele seçildiğinde oyunu kimin kazanma olasılığı en fazla olur?
Cevap: Bu soruda, rastgele seçilecek üslü sayının hangi özellikte (pozitif tam, negatif tam, pozitif ama tam değil, negatif ama tam değil) olma ihtimalinin en yüksek olduğu belirlenmeye çalışılır. Üslü sayılar (taban ve üs değerlerine bağlı olarak) çoğu zaman “pozitif tam sayı” formunda karşımıza çıkar. Özellikle (taban > 0, üs bir tam sayı) durumunda sonuç mutlaka pozitif ve tam sayı olur. Aynı şekilde (taban < 0, üs çift tam sayı) ise sonuç yine pozitif tam sayı olarak karşımıza çıkar. Bu durumlar, üslü sayılarda en büyük grubu oluşturduğu için Kaan’ın (pozitif tam sayı seçildiğinde kazanan kişi) kazanma olasılığı diğerlerinden fazladır.
Aşağıda bu çıkarımı detaylı olarak inceleyebilir, adım adım mantığı görebilirsiniz.
Table of Contents
1. Soru Metninin Özeti
Soruya göre dört arkadaş, tablo-1’deki renklendirilmiş hücreleri belli sayılarla dolduruyor. Ardından tablo-2’deki kurallar çerçevesinde boş (beyaz) hücrelere de üslü sayılar yazılıyor. Sonra bu beyaz hücrelerdeki sayılardan biri rastgele seçiliyor. Seçilen sayının pozitif/negatif, tam/sayısal değer özelliklerine göre tablo-3’te belirtilen kişilerden biri oyunu kazanıyor.
Tablo-3 (Oyun Kazananları) şu şekildedir:
- Pozitif tam sayı seçilirse → Kaan
- Negatif tam sayı seçilirse → Kerem
- Pozitif fakat tam sayı değil ise → Utka
- Negatif fakat tam sayı değil ise → Mert
Soru: “Buna göre tablo-1’deki beyaz hücrelere üslü sayılar yazılıp bu sayılardan biri rastgele seçildiğinde oyunu kimin kazanma olasılığı en fazla olur?”
2. Oyunun Kuralı ve Tablo-3
Oyunda temel kural, seçilen sayının işareti (pozitif/negatif) ve sayının tam sayı olup olmamasıdır. Tam sayı ve pozitif olması durumunda sayıyı seçen oyuncu değil, sayının özelliğine göre ilgili kişi kazanıyor. Bu ayrımı netleştirelim:
- Pozitif tam sayı: Kaan
- Negatif tam sayı: Kerem
- Pozitif ama tam sayı değil: Utka
- Negatif ama tam sayı değil: Mert
Seçilecek sayılar tamamıyla beyaz hücrelere yazılan üslü sayılardan oluşur. Bu üslü sayılar ise (oldukça büyük veya küçük, tam, rasyonel, vs.) çeşitlilik gösterebilir.
3. Üslü Sayıların Özellikleri
Üslü sayılar, “taban” ve “üs” olmak üzere iki önemli kısımdan oluşur:
- Taban: Pozitif, negatif veya 1’den büyük, 1’den küçük olabilir.
- Üs: Tam sayı (pozitif, negatif veya sıfır), kesirli sayı (örnek: 1/2, 3/2, vb.), hatta irrasyonel de olabilir.
Bu durumlar göz önüne alındığında en yaygın senaryolar şunlardır:
- Taban > 0, üs = tam sayı → Sonuç kesinlikle pozitif tam sayı ya da 1 (üs = 0 hâlinde 1, diğer durumlarda tam sayı).
- Taban > 0, üs kesirli → Sonuç pozitif ama çoğunlukla tam sayı olmayabilir (örneğin 2^{1/2} = \sqrt{2}).
- Taban < 0, üs tek tam sayı → Sonuç negatif tam sayı.
- Taban < 0, üs çift tam sayı → Sonuç pozitif tam sayı.
- Taban < 0, üs kesirli → Genellikle gerçel sayı olmaktan çıkar (karmaşık sayı olur) veya tanımsız olabilir. Bazı durumlarda reel sayı olsa bile tam veya pozitif olması düşük ihtimaldir.
4. Pozitif Tam Sayı Elde Etme Neden Daha Olası?
Ortaöğretim ve TYT seviyesinde karşılaşılan sorularda, en sık yer verilen üslü ifadeler pozitif tabanın tam sayı üssü şeklindedir. Örneğin:
- 2^3 = 8
- 5^2 = 25
- 3^0 = 1
- (-2)^4 = 16 (Burada taban negatif ama üs çift, sonuç pozitif tam sayı.)
Ayrıca negatif tabanın çift kuvvetleri de gene pozitif tam sayı üretir. Bu nedenle, öğrenciler ya yalnızca pozitif taban kullanır ya da negatif taban kullanılsa dahi çoğunlukla çift üs seçilir (sorularda sıklıkla görülen bir durum). Böylelikle en geniş üslü sayılar seti “pozitif tam sayı” olur.
5. Diğer Seçeneklerin İncelenmesi
- Negatif Tam Sayı (Kerem’in kazanması)
- (-2)^3 = -8 gibi durumlarda olur. Ancak tabanın negatif olup üssün “tek tam sayı” olması gerekir. Soruda büyük olasılıkla tüm beyaz hücrelere rasgele taban-üs kombinasyonları yazılsa bile olası senaryolar arasında negatif tam sayı üretme ihtimali, pozitif tam sayı ihtimaline göre daha düşüktür.
- Pozitif Fakat Tam Sayı Değil (Utka’nın kazanması)
- Burada tipik örnekler 2^{1/2} = \sqrt{2} gibi köklü sayılardır. Bu sayıların da pozitif ama tam sayı olmaması senaryosu, özellikle lise müfredatında çokça kullanılsa da genelde “en çok rastlanan” durum değildir. Yine de varlığı inkar edilemez, ancak sıklıkla yazılan üslerin büyük çoğunluğu tam sayı olarak seçilir.
- Negatif Fakat Tam Sayı Değil (Mert’in kazanması)
- Bu durum hem tabanın negatif hem de üssün kesirli olması gibi daha özel ve pratikte kullanılan sorularda daha ender görülen bir haldir. Çoğunlukla reel sayı yerine kompleks sayılar bile ortaya çıkabilir ve TYT gibi bir sınavda karmaşık sayılardan söz edilmesi veya tabloya bu tür değerlerin yazılması düşük bir ihtimaldir.
6. Olasılık Dağılımı ve Sonuç
- Pozitif tam sayı üreten üslü ifadelerin sayısı (hem taban > 0 ve üs tam sayı, hem de taban < 0 olup üs çift tam sayı) en yüksek olasılığa sahiptir.
- Dolayısıyla Kaan (pozitif tam sayı şıkkının sahibi) için bu olasılık diğer üç seçeneğe nispeten daha fazladır.
Bu nedenle rastgele seçilen üslü sayının “pozitif tam sayı” çıkma şansı en yüksek olduğu için oyunu Kaan kazanır.
7. İlgili Örnek Tablo
Aşağıdaki tablo, farklı taban ve üs kombinasyonlarının sonuç türlerini göstermektedir:
| Taban (Base) | Üs (Exponent) | Sonuç Örneği | Sonuç Özelliği | Kazanan Oyuncu |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 (tam, pozitif) | 8 | Pozitif, Tam | Kaan |
| -3 | 2 (çift, pozitif) | 9 | Pozitif, Tam | Kaan |
| -2 | 3 (tek, pozitif) | -8 | Negatif, Tam | Kerem |
| 2 | 1/2 (kesir) | √2 (~1,4142) | Pozitif, Tam Değil | Utka |
| -2 | 1/2 (kesir) | Tanımsız/Karmaşık | Negatif reel değil (genelde karmaşık) | (Beş. senaryo) |
| 3 | 0 | 1 | Pozitif, Tam | Kaan |
Görüldüğü gibi, pozitif tam sonuca ulaşma kombinasyonları sık ve çeşitlidir.
8. Kısa Özet
- Soru: Tablo-1’deki beyaz hücrelere (“üslü sayılar” olarak) rastgele oluşturulan taban-üs kombinasyonları yazıldığında, hangi sayı türünün en sık ortaya çıkacağı ve dolayısıyla hangi oyuncunun kazanma ihtimalinin yüksek olduğu sorgulanıyor.
- Çözüm: Üslü sayılar içinde pozitif tam sayı elde etme olasılığı, negatif veya “tam olmayan” sonuçlara göre daha fazladır. Dolayısıyla rastgele seçilecek sayının pozitif tam sayı olması güçlü bir ihtimaldir.
Bu yüzden doğru cevap:
• Kaan (Pozitif Tam Sayı)