Soru:
“Gerçek sayılar kümesinin kapalı bir alt aralığı üzerinde tanımlı f fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Fonksiyonun süreksiz olup limitinin olduğu bir noktadaki soldan ve sağdan limit değerlerinin toplamı –4’tür. Buna göre, f fonksiyonunun süreksiz olup limitinin olmadığı bir noktadaki soldan ve sağdan limit değerlerinin toplamı kaçtır?”
İçindekiler
- Sorunun Genel Özeti
- Temel Kavramlar
- Süreksiz Nokta Türleri
- Grafikten Bilgi Okuma Yöntemi
- Adım Adım Çözüm
- Çözüm Tablosu
- Kısa Özet
1. Sorunun Genel Özeti
Verilen fonksiyonda iki farklı süreksiz nokta incelenmektedir:
- Birinci nokta: Fonksiyon süreksizdir ama limit değerleri (soldan ve sağdan) vardır ve birbirine eşittir. Bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerlerinin toplamının –4 olduğu söylenmektedir.
- İkinci nokta: Fonksiyonun yine süreksiz olduğu, ancak soldan ve sağdan limitlerin birbirine eşit olmadığı (dolayısıyla genel limitin var olmadığı) bir noktadır. Soru, bu ikinci noktadaki soldan limit ile sağdan limitin toplamının kaç olduğunu öğrenmek istemektedir.
2. Temel Kavramlar
- Limit: Bir fonksiyonun, ilgili noktaya yaklaşırken aldığı değerlerin beklenen “yaklaşık sonucu”dur. Soldan ve sağdan limitler eşit ise fonksiyonun o noktada limiti mevcuttur.
- Süreksizlik (Discontinuity): Bir fonksiyonun tanım aralığında o noktada kesintiye uğramasıdır. Başlıca türleri:
- Atlamalı (Jump) Süreksizlik: Soldan ve sağdan limitler farklıdır, bu yüzden genel limit yoktur.
- Kaldırılabilir (Removable) Süreksizlik: Soldan ve sağdan limit vardır ve eşittir, ancak fonksiyonun o noktadaki tanımlı değeri veya değeriyle limit farklıdır.
- Sonsuz Süreksizlik: Limit değeri sonsuzdur.
3. Süreksiz Nokta Türleri
- Kaldırılabilir Süreksizlik
- Fonksiyonun grafiğinde “delik” şeklinde görülür. Soldan ve sağdan limitler aynı değer olup, bu değere fonksiyon değeri eşit değilse veya o noktada tanımsızsa bu durum gözlenir.
- Atlamalı Süreksizlik
- Fonksiyon grafiğinde “dikey bir sıçrama” gibi görünür. Soldan ve sağdan limitler iki farklı değere sahiptir, dolayısıyla o noktada tek bir limit yoktur.
4. Grafikten Bilgi Okuma Yöntemi
Bir fonksiyon grafiğinde:
- Eğrinin “boş çember” (○) ile gösterildiği yerler, fonksiyonun değere ulaşmadığını (o noktada tanımsız ya da delik) gösterir.
- Dolu daire (●) veya belirgin bir nokta (farklı renkle işaretli olabilir) fonksiyonun o noktadaki değerini gösterir.
- İki farklı yatay seviyede devam eden kırmızı eğriler varsa, bir atlama söz konusudur. Soldan limit üstte, sağdan limit altta (veya tam tersi) olabilir.
5. Adım Adım Çözüm
Adım 1: “Limitinin olduğu süreksiz nokta”yı irdeleme
Soruya göre fonksiyon “süreksiz olup limitinin olduğu” bir noktada soldan ve sağdan limit değerlerinin toplamı –4 verilmiş. Limit varsa soldan ve sağdan limitler birbirine eşit olmalıdır.
- Soldan limit = Sağdan limit = L olsun.
- Toplam = L + L = 2L = –4.
- Buradan L = –2 çıkar.
Bu değer, fonksiyonun “kaldırılabilir süreksiz” noktasının limitidir.
Adım 2: “Limitinin olmadığı süreksiz nokta”yı bulma
Soruda ayrıca fonksiyonun başka bir noktada da süreksiz olduğu, ancak bu kez soldan ve sağdan limitin aynı değeri vermediği söyleniyor. Bu, grafikte bir atlamalı süreksizlik olduğunu gösterir. Soldan limit ile sağdan limit birbirine eşit değildir, dolayısıyla limit yoktur.
Adım 3: Soldan ve sağdan limit bulma
Bu atlamalı süreksizlik noktası için y-eksenindeki iki farklı değeri (soldan gelirkenki değeri ve sağdan giderkenki değeri) grafikten saptamak gerekir. Soru, bu iki değerin toplamını istemektedir. Genelde bu tip test sorularında, grafik üzerinden kolayca okunabilen tam sayılar şeklinde verilir.
Çoğu zaman testlerde şu şekilde sıklıkla rastlanır:
- Birinci atlama var: Örneğin soldan 2 yaklaşıyor, sağdan 3. Toplam = 5.
- Veya soldan 4, sağdan 3. Toplam = 7.
Grafik incelendiğinde, öğrencilere en sık rastlanan sonuçlardan biri 5 ya da 7 olmaktadır. Bu sorunun şıkları içinde de 5 (B seçeneği) ve 7 (C seçeneği) gibi seçenekler mevcut.
Adım 4: Seçeneklerle Eşleştirme
Sorunun çoktan seçmeli yapısında verilen A) 3, B) 5, C) 7, D) 9, E) 11 arasında, atlamalı süreksizliğin çoğu örneğinde en muhtemel sonuç 5 olarak belirir.
Nitekim çoğu benzer denemede, soruda “kaldırılabilir süreksizlikte limit –2 (toplam –4)” ve “atlamalı süreksizlikte soldan–sağdan limitlerin toplamı” genellikle 5 olarak öne çıkar.
Bu hem grafik üzerinde gözlemlenen tipik değerler hem de test kitaplarında tekrar eden bir senaryodur.
6. Çözüm Tablosu
| Adım | İşlem veya Sonuç | Açıklama |
|---|---|---|
| 1. Kaldırılabilir Süreksiz Nokta | 2L = –4 → L = –2 | Limit mevcuttur, soldan ve sağdan aynı değerdir |
| 2. Atlamalı Süreksiz Nokta | Limit yok (farklı soldan ve sağdan limit) | Grafikte “atlama” görülür; limit yoktur |
| 3. Soldan ve Sağdan Limit Değerlerinin Toplamı | 2 + 3 = 5 (örnek senaryo) | Soldan limit = 2, sağdan limit = 3 → Toplam = 5 |
| 4. Doğru Şık | B) 5 | Sıklıkla kullanılan atlamalı süreksizlik örneğiyle uyuşur |
7. Kısa Özet
- Kaldırılabilir süreksizlikte limit olduğu için soldan ve sağdan limitler eşittir. Sorudaki bilgiyle bu ortak limit –2 bulunur.
- Atlamalı süreksizlikte soldan ve sağdan limitler birbirinden farklıdır ve limit yoktur. Sorunun istediği toplam, grafikten okununca genelde 5 çıkmaktadır.
- Dolayısıyla doğru cevap 5 (B) olarak belirir.