!image|375x500 [Link Silindi]
Resimli sorunuzun çözümü:
Sorunun şekline ve metnine uygun olarak çözüm yapacağım.
Soruyu Anlama:
Şekilde bir gezegenin K ve M parçacıkları belirtildiği gibi kendi yörüngelerinde dönmektedir. Soruda K parçacığı, gezegene daha yakın bir yolda; M parçacığı, gezegene daha uzak bir yolda dönmektedir. Dolayısıyla aşağıdaki niceliklerin karşılaştırılması istenmiş:
- I. Eylemsizlik momenti
- II. Açısal momentum
- III. Merkezcil ivme
Çözüm Adımları:
1. Eylemsizlik Momenti:
Eylemsizlik momenti formülü:
$
I = m \cdot r^2
$
Bu formülde:
- m parçacığın kütlesi,
- r ise parçacığın gezegene olan uzaklığıdır.
K parçacığı gezegene daha yakın olduğu için, K’nin r değeri küçükdür. Dolayısıyla:
$
I_K < I_M
$
Yani K’nin eylemsizlik momenti, M’nin eylemsizlik momentinden küçüktür.
2. Açısal Momentum (L):
Açısal momentum formülü:
$
L = m \cdot r \cdot v
$
Burada:
- v parçacığın hızıdır ve merkezcil kuvvet/ivme nedeniyle parçacık gezegene yakın olan K, daha büyük bir hızla döner. (v_K > v_M)
- Ancak K’nin gezegenle olan mesafesi daha küçük olduğu için, r_K < r_M.
Açısal momentum açısından v hızının etkisi daha baskındır çünkü hız artışı daha fazla momentum yaratır.
$
L_K < L_M
$
Yani K’nin açısal momentumu, M’nin açısal momentumundan küçüktür.
3. Merkezcil İvme (a_c):
Merkezcil ivme formülü:
$
a_c = \frac{v^2}{r}
$
K’nin hızının (v) büyük olduğunu ve uzaklığının küçük olduğunu bildiğimizden:
$
a_c \propto \frac{v^2}{r}
$
Hız büyük ve mesafe küçük olduğu zaman merkezcil ivme daha büyüktür. Dolayısıyla:
$
a_c(K) > a_c(M)
$
Sonuç: K parçacığının merkezcil ivmesi, M parçacığına kıyasla daha büyüktür.
Doğru Cevabı Belirleme:
Soruda, K parçacığının M parçacığına göre hangi niceliklerde daha küçük olduğunu soruyor.
Sonuçlar:
- I. Eylemsizlik momenti: Daha küçük
- II. Açısal momentum: Daha küçük
- III. Merkezcil ivme: Daha büyük
Doğru cevap: D seçeneği (II ve III)
Özet Tablo:
| Nicelik | K’nin Durumu | Sonuç |
|---|---|---|
| Eylemsizlik Momenti | I_K < I_M | Daha küçük |
| Açısal Momentum | L_K < L_M | Daha küçük |
| Merkezcil İvme | a_{cK} > a_{cM} | Daha büyük |
Sonuç: K parçacığı yalnızca II ve III niceliklerde M parçacığından daha küçüktür.
14. Bir gezegenin halkaları kendi yörüngelerinde dolanan birçok parçacıktan oluşmuştur. Şekilde bu gezegenin etrafında dolanan özdeş K ve M parçacıklarından gezegene daha yakın bir yörüngedeki K parçacığı ile daha uzak bir yörüngedeki M parçacığının konumları gösterilmiştir. K ve M parçacıklarının yörüngeleri çembersel kabul edilmektedir.
Buna göre K parçacığının;
I. gezegen merkezine göre eylemsizlik momenti,
II. gezegen merkezine göre açısal momentum büyüklüğü,
III. merkezcil ivmesinin büyüklüğü
niteliklerinden hangileri M parçacığınınkinden daha küçüktür?
Çözüm ve Açıklama
Aşağıda, K ve M parçacıklarının dinamiğini adım adım inceleyerek hangi niceliklerin K için M’e göre büyük veya küçük olduğunu belirleyeceğiz.
İçindekiler
- Temel Kavramlar
- Eylemsizlik Momentinin Karşılaştırılması
- Açısal Momentumun Karşılaştırılması
- Merkezcil İvmenin Karşılaştırılması
- Sonuç ve Özet Tablosu
- Kısa Değerlendirme
1. Temel Kavramlar
- Çembersel Hareket: Bir cismin sabit yarıçaplı bir yörüngede dönmesi durumunda, hız yönü sürekli değişir ve bu değişimi sağlayan merkezcil (merkeze doğru) bir kuvvet vardır.
- Eylemsizlik Momenti (I): Belirli bir eksene göre cismin kütlesi ile dönme yarıçapının karesinin çarpımıdır. Noktasal kütle için I = mr^2 biçiminde ifade edilir.
- Açısal Momentum (L): Bir cismin dönme dinamiğinin ölçüsüdür. Noktasal kütle için L = m \cdot r \cdot v olup yörünge hareketi açısından L = m\,r\, \sqrt{\frac{GM}{r}} = m\,\sqrt{GM\,r} şeklinde de gösterilebilir.
- Merkezcil İvme (ac): Çembersel hareketi sağlayan ivmedir ve a_{c} = \frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2} formülüyle hesaplanır. Burada G evrensel çekim sabiti, M gezegenin kütlesi, r ise yörünge yarıçapıdır.
2. Eylemsizlik Momentinin Karşılaştırılması
K ve M parçacıkları özdeş (kütleleri aynı), fakat yarıçapları farklı iki yörüngede dolanmaktadır. K parçacığı, gezegene daha yakın bir yörüngededir:
• Eylemsizlik momenti formülü I = m r^2 olarak verildiğinden, daha küçük yarıçapa sahip K parçacığı için r_{K} < r_{M} geçerlidir.
• Buna bağlı olarak I_{K} = m \, r_{K}^2 ve I_{M} = m \, r_{M}^2 olduğunda, r_{K} < r_{M} ⇒ I_{K} < I_{M}.
Dolayısıyla K’nin eylemsizlik momenti, M’ninkinden daha küçüktür.
3. Açısal Momentumun Karşılaştırılması
Bir parçacığın açısal momentumu:
$
L = m,r,v
$
şeklindedir. Yerçekimi merkezli dairesel yörüngede dolanan cisimler için hız
$
v = \sqrt{\frac{G,M}{r}}
$
olduğundan,
$
L = m,r ,\sqrt{\frac{G,M}{r}} = m ,\sqrt{G,M,r}.
$
• L değerinin r ile ilişkisi \sqrt{r} şeklinde olduğundan, daha küçük yarıçaptaki K parçacığının açısal momentum değeri de daha küçük olur.
• Yani r_{K} < r_{M} ⇒ \sqrt{r_{K}} < \sqrt{r_{M}} ⇒ L_{K} < L_{M}.
Dolayısıyla K’nin açısal momentumu, M’ninkinden daha küçüktür.
4. Merkezcil İvmenin Karşılaştırılması
Çembersel hareket için merkezcil ivme şöyledir:
$
a_{c} = \frac{v^2}{r} = \frac{G,M}{r^2}.
$
• Küçük yarıçaplı yörüngede bulunan K parçacığı için r_{K} < r_{M} ise
$
a_{c,K} = \frac{G,M}{r_{K}^2}
$
ve
$
a_{c,M} = \frac{G,M}{r_{M}^2}.
$
• r_{K} < r_{M} olduğundan a_{c,K} > a_{c,M}.
Yani K’nin merkezcil ivmesi, M’ninkinden daha büyüktür.
5. Sonuç ve Özet Tablosu
Aşağıdaki tabloda, K ve M parçacıkları arasındaki niceliklerin nasıl karşılaştırıldığı özetlenmiştir:
| Nicelik | K Parçacığı (Daha Yakın) | M Parçacığı (Daha Uzak) | Karşılaştırma Sonucu (K < M mi?) |
|---|---|---|---|
| Eylemsizlik Momenti (I) | IK = m·rK² | IM = m·rM² | Daha Küçük (IK < IM) |
| Açısal Momentum (L) | LK = m·√(GM·rK) | LM = m·√(GM·rM) | Daha Küçük (LK < LM) |
| Merkezcil İvme (ac) | aK = GM / rK² | aM = GM / rM² | Daha Büyük (aK > aM) |
Bu tabloya göre K parçacığı, M’ye göre daha küçük eylemsizlik momentine ve açısal momentuma, daha büyük ise merkezcil ivmeye sahiptir.
6. Kısa Değerlendirme
Soru; “K parçacığının hangi nicelikleri M parçacığınınkinden daha küçüktür?” sorusuna yanıt aramaktadır. Yukarıdaki analiz sonucunda:
- Eylemsizlik momenti (I): K < M
- Açısal momentum (L): K < M
- Merkezcil ivme (ac): K > M
Dolayısıyla I ve II (eylemsizlik momenti ve açısal momentum) K için daha küçüktür. Sorumuzun doğru cevabı “I ve II” şeklindedir.
Cevap: I ve II