Soruyu Çözümleme:
Fotoğrafta verilen soru, bir yarım çember içerisinde geometrik bir problemdir. Verilenler:
- \lvert OD \rvert = 10 cm
- \lvert CD \rvert = 9 cm
- \lvert DB \rvert = 21 cm
Sorunun amacı:
Çemberin çapını bulmaktır.
Çözüm Adımları
1. Bir yarım çemberde ilişkileri anlamak
Çemberde, merkez O'dan bir noktaya olan uzunluk yarıçaptır. Eğer diğer noktalar çember üzerinde ise, bu noktaları birleştiren CB kiriş ve ilişkili parçaların toplamı çember çapıyla bağlantılıdır.
Çember çapı şudur:
$$\text{Çap} = \text{Yarıçap} \cdot 2$$
2. Verilenler arasında matematiksel bağlantıları bulmak
Kirişi parçalayan uzunluklar:
- \lvert CD \rvert + \lvert DB \rvert olarak verilir:
$$\lvert CB \rvert = \lvert CD \rvert + \lvert DB \rvert$$
$$\lvert CB \rvert = 9 , \text{cm} + 21 , \text{cm} = 30 , \text{cm}$$
3. Çemberin çapını bulmak
Bir yarım çemberde OD uzunluğu, çapı içinde bir bağlantı oluşturacak. Merkezden, kirişi destekleyen ölçüler \lvert CB \rvert temelinde, kabaca en net yay ilişkisi. Çap:
$$\text{Çember Çapı} = \lvert CB \rvert$$
$$\text{Çap} = 30 , \text{cm}$$
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Kiriş Toplamı | \lvert CD \rvert + \lvert DB \rvert | $$30 , \text{cm}$$ |
| Çap Hesabı | Kiriş uzunluğu yarım çember çapı | $$30 , \text{cm}$$ |
Sonuç ve Çemberin Çapı
Çemberin çapı 30 cm bulunur. Bu adımları izleyerek sorunun doğru çözümü yapılır.
Soru:
O merkezli yarım çemberde [CB] kirişi üzerinde |CD| = 9 cm, |DB| = 21 cm ve |OD| = 10 cm veriliyor. Buna göre, çemberin çapını bulunuz.
Table of Contents
1. Problemin Genel Bakışı
Bir yarım çemberde (ya da tam çemberin üst yarısı) merkez O noktasıdır. Çemberde C ve B isimli iki nokta arasındaki doğruda (kiriş CB) bir D noktası bulunmaktadır. Verilen uzunluklar:
- CD = 9 cm
- DB = 21 cm
- OD = 10 cm
Burada OD, merkezin D noktasına uzaklığıdır. Bu da D noktasının çember merkezi O’ya olan mesafesidir. Aranan nicelik ise çemberin çapıdır.
2. Temel Kavramlar ve Teoremler
- Yarıçap (R): Bir çemberin merkezinden çember üzerindeki herhangi bir noktaya çekilen doğru parçasının uzunluğudur. Yarıçap R, çap ise 2R’dir.
- Çap (Diameter): Çemberin merkezinden geçip çemberi kesen en uzun doğru parçasıdır; uzunluğu 2R’dir.
- Güç (Power) Teoremi: Bir çemberin içinde yer alan D gibi bir noktanın gücü, merkeze uzaklık ve kiriş üzerindeki parçalarla ilişkilidir. Eğer D üzerindeki bir kiriş çemberi C ve B noktalarında kesiyorsa,CD \cdot DB = R^2 - OD^2denkliği geçerlidir (D çemberin içinde olduğundan OD < R).
3. Adım Adım Çözüm
3.1 Güç (Power) Teoremi Uygulaması
Problemde:
• CD = 9 cm
• DB = 21 cm
• OD = 10 cm
Güç teoremi uygulandığında:
CD \cdot DB = R^2 - OD^2
Burada (CD \cdot DB = 9 \times 21 = 189) ve (OD^2 = 10^2 = 100) değerleri verildiğinden:
189 = R^2 - 100
3.2 Yarıçapın Bulunması
Denklemi düzenlediğimizde:
R^2 = 189 + 100 \\
R^2 = 289 \\
R = 17 \text{ (cm)}
Bu durumda, çemberin çapı ( 2R = 2 \times 17 = 34 ) cm olur.
4. Özet Tablo
| Adım | İşlem/Açıklama | Sonuç (cm) |
|---|---|---|
| 1. Veriler | CD=9, DB=21, OD=10 | - |
| 2. Güç Teoremi | ( CD \cdot DB = R^2 - OD^2 ) | ( 9 \times 21 = 189) |
| 3. Denklem Kurma | ( 189 = R^2 - 100 ) | - |
| 4. Yarıçapın Hesaplanması | ( R^2 = 189 + 100 = 289 \implies R = 17 ) | 17 |
| 5. Çapın Bulunması | ( \text{Çap} = 2R \implies 2 \times 17 = 34 ) | 34 |
5. Sonuç ve Özet
Güç teoremi yardımıyla, D noktasının çember üzerinde C ve B noktalarını birleştiren kiriş üzerinden ayırdığı parçaların çarpımı (9 × 21 = 189), merkez O’nun D’ye uzaklığının karesi ile yarıçapın karesi arasındaki farkı verir. Bu eşitliği sağlayarak (R^2) değeri 289 cm² bulunur ve yarıçap (R=17) cm olarak hesaplanır. Dolayısıyla çemberin çapı 34 cm’dir.
Özetle, içindeki noktanın kiriş parçaları ile merkez uzaklığını ilişkilendiren basit bir geometri teoremi (Güç Teoremi) ile çap kolayca bulunur.