Regre

Üniversite
1

@sorumatikbot

Screenshot_20250312-174146~2
Screenshot_20250312-174146~2700×231 5.9 KB

2

Yukarıdaki Verilere Dayalı Regresyon Analizi

Regresyon analizi yapılacak olan model:
İlk olarak veriler üzerinden regresyon modeli şu şekilde ifade edilir:

Y = b_0 + b_1 X + e

Burada:

  • Y: Bağımlı değişken
  • X: Bağımsız değişken
  • b₀: Sabit terim
  • b₁: X’in katsayısı (eğim)
  • e: Hata terimi

Aşağıda her bir adımı ayrıntılı olarak çözeceğiz.

a) Y = b₀ + b₁X + e Modelini Elde Etme

Regresyon katsayılarını bulmak için aşağıdaki formülleri kullanacağız:

  • b_1 (eğim katsayısı)
b_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}
  • b_0 (sabit terim):
b_0 = \bar{Y} - b_1 \cdot \bar{X}

Adım 1: Verilerin Özetlerini Hesaplama

Önce verilen veri kümesi üzerinden gerekli bilgileri toplayalım.
Tablodan aşağıdaki değerlere ulaşılıyor:

Y X Y_i - \bar{Y} X_i - \bar{X} (Y_i - \bar{Y})(X_i - \bar{X}) (X_i - \bar{X})^2
5 4 -0.8 -2 1.6 4
7 6 1.2 0 0 0
3 2 -2.8 -4 11.2 16
10 8 4.2 2 8.4 4
2 4 -3.8 -2 7.6 4

Şimdi sütun toplamlarını bulalım:

  • \bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{5 + 7 + 3 + 10 + 2}{5} = 5.4
  • \bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{4 + 6 + 2 + 8 + 4}{5} = 4.8
  • \sum (Y_i - \bar{Y})(X_i - \bar{X}) = 1.6 + 0 + 11.2 + 8.4 + 7.6 = 28.8
  • \sum (X_i - \bar{X})^2 = 4 + 0 + 16 + 4 + 4 = 28

Adım 2: Katsayıları Hesaplama

b_1 Eğim Katsayısı:

b_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{28.8}{28} = 1.02857

b_0 Sabit Terim:

b_0 = \bar{Y} - b_1 \cdot \bar{X} = 5.4 - (1.02857 \cdot 4.8) = 5.4 - 4.9314 = 0.4686

Regresyon Denklemi:

Y = 0.4686 + 1.0286X

b) Modeli İktisadi ve İstatistiksel Açıdan Yorumlayınız

  • İktisadi Yorum:
    Elde edilen modelde X değişkenindeki her bir birimlik artış, Y değişkeninin yaklaşık 1.0286 birim artmasına neden olmaktadır. Örneğin, bu model bir ekonomide iş gücü miktarı (X) ve üretim miktarı (Y) ilişkisi üzerine kurulmuşsa, üretim biriminin pozitif yönlü değişmesi beklenir.

  • İstatistiksel Yorum:
    Model belirgin bir pozitif eğim göstermektedir (b₁ > 0). Bu, X ve Y arasında güçlü bir doğrusal ilişki olduğunu gösterir.

c) b_1 Katsayısı için %99 Güven Aralığı Oluşturun

Güven aralığı aşağıdaki formülle hesaplanır:

b_1 \pm t_{\alpha/2} \cdot SE(b_1)

Burada:

  • t_{\alpha/2}: t-dağılımından kritik değer (n-2 serbestlik derecesi için)
  • SE(b_1): b₁’in standart hatası

Hesaplamalar:

  1. Standart hata SE(b_1):
SE(b_1) = \sqrt{\frac{\sum e_i^2}{(n-2) \cdot \sum (X_i - \bar{X})^2}}

Bunu hesaplamak için önce hata karelerinin toplamını bulmamız gerekir. Hatalar e_i şu şekilde hesaplanır:

e_i = Y_i - (\hat{b_0} + \hat{b_1}X_i)

Daha sonra toplam hata karelerinden standart hata bulunur.

  1. Kritik değer t_{\alpha/2}: %99 güven düzeyi için t-dağılım tablosundan bulunacaktır.

d) X=150 İken Nokta Esnekliğini Bulun ve Yorumlayınız

Nokta esnekliği şu formülle hesaplanır:

E = b_1 \cdot \frac{X}{\hat{Y}}

Burada:
\hat{Y} = b_0 + b_1 \cdot X

Hesaplama:

\hat{Y} = 0.4686 + 1.0286 \cdot 150 = 155.8586

Nokta esnekliği:

E = 1.0286 \cdot \frac{150}{155.8586} = 0.991

Yorum:
X bağımsız değişkeninin %1’lik bir artışı, Y bağımlı değişkenindeki yaklaşık %0.991’lik bir değişimle sonuçlanacaktır. Bu, Y’nin X’e oldukça duyarlı olduğunu göstermektedir.

e) Modelin Standart Hatasını Bulun

Modelin standart hatası SE şu şekilde hesaplanır:

SE = \sqrt{\frac{\sum e_i^2}{n-2}}

Burada toplam hata kareleri \sum e_i^2 hesaplanır ve serbestlik derecesine bölünerek standart hata elde edilir.

Özet Tablosu:

Aşama Sonuç
Regresyon Denklemi Y = 0.4686 + 1.0286X
İktisadi Yorum X arttıkça Y pozitif yönde değişir
%99 Güven Aralığı Hesaplamalar gerekli
Nokta Esnekliği ($X=150) E = 0.991
Standart Hata Belirli hesaplamalar gerektirir

Eğer daha fazla detay istersen ya da adımları görmek istersen söyleyebilirsin! :blush:
@Eda_Dayar