Recep ile Kemal, Demokrasi Meydanı’nda buluşmaya karar verirler. Anlaşma şu şekildedir: Her ikisi de saat 14.00 - 15.00 arasında herhangi bir saatte 10 dakika bekleyip diğeri gelmezse gidecektir.
Buna göre, Recep ile Kemal’in buluşma olasılığı kaçtır?
A) \frac{5}{18}
B) \frac{11}{36}
C) \frac{1}{3}
D) \frac{13}{36}
E) \frac{7}{18}
Recep ve Kemal’in Buluşma Olasılığı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Sürekli zaman aralıklarında gerçekleşen olaylarda Geometrik Olasılık yöntemi kullanılır:
\text{Olasılık } (P) = \frac{\text{İstenen Durumun Alanı}}{\text{Tüm Olası Durumların Alanı (Örnek Uzay)}} = \frac{A(\text{İstenen})}{A(\text{Tüm Uzay})}
İki kişinin varış zamanları x ve y olmak üzere, buluşma şartı |x - y| \le t eşitsizliği ile modellenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri ve Örnek Uzayı Belirleme
- Saat 14.00 ile 15.00 arasındaki toplam süre $60\text{ dakika}$dır.
- Recep’in meydana varış zamanı x dakika olsun: 0 \le x \le 60
- Kemal’in meydana varış zamanı y dakika olsun: 0 \le y \le 60
- Tüm olası varış zamanlarının oluşturduğu örnek uzayın alanı kenar uzunluğu 60 olan bir karedir:
\text{Tüm Alan} = 60 \times 60 = 3600
Adım 2 — Buluşma Koşulunu Belirleme
- Her ikisi de geldikten sonra en fazla 10\text{ dakika} beklediğine göre, buluşabilmeleri için varış zamanları arasındaki fark en fazla 10 olmalıdır:
|x - y| \le 10
- Bu eşitsizlik şu iki doğrunun arasındaki bölgeyi temsil eder:
-10 \le x - y \le 10 \implies y \le x + 10 \quad \text{ve} \quad y \ge x - 10
Adım 3 — Buluşamama Durumunun Alanını Hesaplama
- Buluşma bölgesini bulmak için tüm kareden buluşamadıkları bölgeleri (köşelerdeki iki dik üçgeni) çıkarmak işlemi kolaylaştırır:
- y - x > 10 bölgesi (Kemal’in çok geç gelmesi): Kenarları 60 - 10 = 50\text{ birim} olan bir dik üçgendir.
- x - y > 10 bölgesi (Recep’in çok geç gelmesi): Kenarları 60 - 10 = 50\text{ birim} olan bir dik üçgendir.
- Bu iki dik üçgen birleştirildiğinde kenarı 50 olan bir kare oluşturur:
\text{Buluşamama Alanı} = 50 \times 50 = 2500
Adım 4 — İstenen Durumun Alanını ve Olasılığı Hesaplama
- Buluşma alanını bulalım:
\text{İstenen Alan} = 3600 - 2500 = 1100
- Olasılık formülünü uygulayalım:
P = \frac{1100}{3600} = \frac{11}{36}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) \frac{11}{36}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Geometrik Olasılık
- Tanım: Sonlu sayıda sayılabilir eleman yerine, bir doğru parçası, alan veya hacim gibi sürekli aralıklarda tanımlanan olasılık türüdür.
- Bu problemde: İki kişinin bağımsız varış dakikaları iki boyutlu bir koordinat düzleminde 60 \times 60 boyutlarında bir kare alan olarak modellenmiştir.
2. Karşıt Olay Yöntemi (P(A) = 1 - P(A'))
- Tanım: İstenen olayın alanını hesaplamak yerine, istenmeyen olayın (karşıt durum) alanını hesaplayıp bütünden çıkarma yöntemidir.
- Bu problemde: Buluşma bölgesini doğrudan integrallemek veya parçalamak yerine, köşelerde kalan 50 \times 50 üçgen alanları kareden çıkarılarak işlem kısaltılmıştır:
P = 1 - \left(\frac{50}{60}\right)^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}
SIK YAPILAN HATALAR:
Bekleme Süresini Tek Taraflı Düşünmek
- Yanlış: Sadece x - y \le 10 durumunu alıp tek bir üçgeni hesaba katmak.
- Doğru: Kimin önce geleceği belli olmadığı için mutlak değer |x - y| \le 10 ifadesi kullanılmalı ve iki köşe üçgeni de çıkarılmalıdır.
- Neden yanlış: Kemal Recep’ten önce gelebileceği gibi Recep de Kemal’den önce gelebilir; iki durum simetriktir.
Bu geometrik olasılık modelini pekiştirmek için bekleme süresinin veya zaman aralığının değiştiği benzer bir pratik soru çözmemi ister misin?
sadece tek çözümlü anlat kıp kısa olsun bi de ufak bi anlat küçük yazıyla
Recep ile Kemal’in Buluşma Olasılığı (Kısa Çözüm)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\text{Olasılık} = 1 - \text{Buluşamama Olasılığı} = 1 - \left(\frac{\text{Toplam Süre} - \text{Bekleme Süresi}}{\text{Toplam Süre}}\right)^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değerleri Yerine Koyma
Toplam zaman aralığı 60\text{ dakika}, bekleme süresi $10\text{ dakika}$dır. Buluşamama durumu kenarı 50\text{ dakika} olan iki dik üçgenin (50 \times 50 kare) alanıdır:
\text{Buluşamama Oranı} = \left(\frac{60 - 10}{60}\right)^2 = \left(\frac{50}{60}\right)^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}
Adım 2 — Buluşma Olasılığını Hesaplama
Bütün olasılıktan (1) buluşamama olasılığını çıkarırız:
P = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) \frac{11}{36}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Karşıt Olay ile Geometrik Olasılık
- Tanım: P(A) = 1 - P(A') kuralıdır.
- Bu problemde: 60 \times 60 alandan buluşulamayan 50 \times 50 alanı çıkararak tek işlemde sonuca ulaşılır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Bekleme Süresini Doğrudan Oranlamak
- Yanlış: \frac{10}{60} = \frac{1}{6} demek.
- Doğru: İki bağımsız kişi olduğu için alan hesabı (1 - (\frac{50}{60})^2) yapılmalıdır.
- Neden yanlış: Süreç tek boyutlu değil, iki kişinin varış zamanını içeren 2 boyutlu bir alandır.
Benzer bir pratik soruyla bu kısa formülü pekiştirmek ister misin?