kartin üzerine alanı 48 cm olan san renkli dikdörtgen gizdiğinde Şekil il’deki gibi mavi renkil bir çerçeve oluşmuştur. Mu-
rat’in çizdiğİ san dikdörtgenin de kenar uzunluklanı santimetre cinsinden doğal sayıdır.
Şekil I
A)
Buna göre, Murat’in çizdiği san dikdörtgenin çevre uzunluğu kaç farklı değer alabilir?
Şekil |
B) 2
C) 3
D) 4
Dikdörtgenlerin Çevre ve Kenar Uzunluğu Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir dikdörtgenin alanı: \text{Alan} = a \times b
- Bir dikdörtgenin çevresi: \text{Çevre} = 2 \times (a + b)
- İç içe iki dikdörtgen arasında kesintisiz bir çerçeve oluşabilmesi için içerideki sarı dikdörtgenin kenar uzunlukları (x, y), dıştaki mavi kartın kenar uzunluklarından (a, b) kesinlikle küçük olmalıdır:
x < a \quad \text{ve} \quad y < b \quad (x \le y \text{ ve } a \le b)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Mavi Kartın Olası Kenar Uzunluklarını Belirleme
Mavi kartın alanı 70\text{ cm}^2 ve kenar uzunlukları birer doğal sayıdır. 70’in pozitif tam sayı çarpan çiftleri (a \le b):
- 1 \times 70
- 2 \times 35
- 5 \times 14
- 7 \times 10
Adım 2 — Sarı Dikdörtgenin Olası Kenar Uzunluklarını ve Çevrelerini Belirleme
Sarı dikdörtgenin alanı 48\text{ cm}^2 ve kenar uzunlukları birer doğal sayıdır. 48’in çarpan çiftleri (x \le y) ve bunlara karşılık gelen çevre değerleri:
- 1 \times 48 \implies \text{Çevre} = 2 \times (1 + 48) = 98\text{ cm}
- 2 \times 24 \implies \text{Çevre} = 2 \times (2 + 24) = 52\text{ cm}
- 3 \times 16 \implies \text{Çevre} = 2 \times (3 + 16) = 38\text{ cm}
- 4 \times 12 \implies \text{Çevre} = 2 \times (4 + 12) = 32\text{ cm}
- 6 \times 8 \implies \text{Çevre} = 2 \times (6 + 8) = 28\text{ cm}
Adım 3 — Çerçeve Şartını Sağlayan Boyutların Kontrol Edilmesi
Şekil II’de görüldüğü gibi mavi çerçevenin her yönde oluşabilmesi için sarı dikdörtgenin hem kısa hem de uzun kenarı, seçilen mavi kartın kenarlarından kesinlikle daha küçük olmalıdır:
- (1 \times 48): Kısa kenarın çerçeve bırakması için mavi kısa kenarın en az 2, uzun kenarın ise 48’den büyük olması gerekir. Mavi kartta (2, 35) çiftinde uzun kenar 35 < 48 olduğu için sığmaz.
- (2 \times 24): Mavi kartın kenarları en az 3 ve 25 olmalıdır. Ancak 70’in çarpanlarında kısa kenarı 2’den büyük olup uzun kenarı 24’ten büyük olan bir çift yoktur ((5, 14) ve (7, 10) uzun kenarları yetersiz kalır). Dolayısıyla sığmaz.
- (3 \times 16): Uzun kenarın 16’dan büyük olması gerekir; fakat mavi kartın (5, 14) ve (7, 10) çiftlerinin uzun kenarları 16’dan küçüktür. Dolayısıyla sığmaz.
- (4 \times 12): Mavi kartın kenarları 5\text{ cm} \times 14\text{ cm} seçilirse:4 < 5 \quad \text{ve} \quad 12 < 14Her iki kenar da küçük olduğundan tam bir çerçeve oluşur \implies Geçerlidir (\text{Çevre} = 32\text{ cm}).
- (6 \times 8): Mavi kartın kenarları 7\text{ cm} \times 10\text{ cm} seçilirse:6 < 7 \quad \text{ve} \quad 8 < 10Her iki kenar da küçük olduğundan tam bir çerçeve oluşur \implies Geçerlidir (\text{Çevre} = 28\text{ cm}).
Bu durumda sarı dikdörtgenin çevre uzunluğu 32\text{ cm} veya 28\text{ cm} olmak üzere 2 farklı değer alabilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Çarpanlar ve Katlar: Bir doğal sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılardır. Geometrik problemlerde kenar uzunluğu olasılıklarını bulmak için kullanılır.
- Geometrik Kapsama (Çerçeve Kuralı): İç içe yerleştirilen benzer yönlü iki dikdörtgende çerçeve kalabilmesi için içteki kenarların kesin eşitsizlikle dıştaki kenarlardan küçük (x < a ve y < b) olması zorunludur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sadece alan farkına bakarak (70 - 48 = 22\text{ cm}^2) sarı dikdörtgenin her türlü mavi kartın içine sığabileceğini varsaymak.- Doğru Yaklaşım: Alan yeterli olsa bile kenar uzunluklarının fiziksel olarak birbirinin içine sığıp sığmadığını teker teker kontrol etmek.
Bu soru tipiyle ilgili pekiştirme amaçlı benzer bir çarpan-geometri sorusu çözmek ister misin?