Rasyonel sayılar matematik

YKS TYT
1

IMG_20260815_161352
IMG_20260815_1613523120×4160 344 KB

2

\frac{13}{2x - 3} Kesrini Bileşik Kesir Yapan x Tam Sayı Değerlerinin Sayısı

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir \frac{a}{b} kesrinin bileşik kesir olabilmesi için payın mutlak değerinin, paydanın mutlak değerine eşit ya da paydadan büyük olması ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir:

|a| \ge |b| > 0 \iff |b| \le |a| \quad \text{ve} \quad b \neq 0

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Bileşik Kesir Eşitsizliğini Oluşturma
Verilen \frac{13}{2x - 3} kesrinin bileşik kesir olması için kuralı uygulayalım:

|2x - 3| \le 13 \quad \text{ve} \quad 2x - 3 \neq 0

Adım 2 — Mutlak Değer Eşitsizliğini Çözme
|2x - 3| \le 13 eşitsizliğini mutlak değer kuralına göre açalım:

-13 \le 2x - 3 \le 13

Eşitsizliğin her tarafına +3 ekleyelim:

-13 + 3 \le 2x \le 13 + 3
-10 \le 2x \le 16

Eşitsizliğin her tarafını 2’ye bölelim:

-5 \le x \le 8

Adım 3 — Paydanın Sıfır Olma (Tanımsızlık) Durumunu İnceleme
Kesrin paydası sıfır olmamalıdır:

2x - 3 \neq 0 \implies 2x \neq 3 \implies x \neq \frac{3}{2}

\frac{3}{2} = 1{,}5 bir tam sayı olmadığından, [-5, 8] aralığında yer alan herhangi bir tam sayıyı elememiz gerekmez.

Adım 4 — x Tam Sayı Değerlerinin Adedini Hesaplama
-5 \le x \le 8 aralığındaki tam sayılar:

\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}

Terim sayısı formülü ile hesaplayalım:

\text{Terim Sayısı} = \text{Son Terim} - \text{İlk Terim} + 1
\text{Terim Sayısı} = 8 - (-5) + 1 = 8 + 5 + 1 = 14

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A şıkkı (14)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Bileşik Kesir

  • Tanım: Payının mutlak değeri, paydasının mutlak değerinden büyük veya paydasına eşit olan (|\text{Pay}| \ge |\text{Payda}|) kesirlerdir.
  • Bu problemde: Pay 13 olduğu için paydanın mutlak değerinin 13 veya 13’ten küçük olması (|2x-3| \le 13) şartı arandı.

2. Mutlak Değerli Eşitsizlikler

  • Tanım: a > 0 olmak üzere |f(x)| \le a eşitsizliği -a \le f(x) \le a şeklinde çözülür.
  • Bu problemde: |2x - 3| \le 13 ifadesi -13 \le 2x - 3 \le 13 şeklinde açılarak x’in aralığı belirlendi.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Negatif Sayıları Hesaba Katmamak

  • Yanlış: Yalnızca 0 < 2x - 3 \le 13 durumunu inceleyip negatif değerleri göz ardı etmek.
  • Doğru: |2x - 3| \le 13 yazılarak hem pozitif hem de negatif değerleri kapsayan -13 \le 2x - 3 \le 13 aralığını çözmek.
  • Neden yanlış: Örneğin x = -5 için kesir \frac{13}{-13} = -1 olur ve |-1| \ge 1 olduğundan bu da bir bileşik kesirdir.

Bu konuyu daha iyi pekiştirmek için rasyonel sayılarda basit/bileşik kesir içeren benzer bir alıştırma sorusu çözmemi ister misin?