- Uç beyaz, dört kırmizı olmak üzere yedi tane topun üzerine
rastgele ardışık pozitif tam sayılar yazilıyor.
•
Kirmizı toplarda yazan çift sayı adedi, beyaz toplarda
yazan tek sayı adedine eşittir.
Çift sayıların sayısal değerlerinin toplamı 24 tür.
•
Buna göre, toplar üzerinde yazan bütün sayılarıin
toplamı kaçtır?
Toplar Üzerindeki Ardışık Sayıların Toplamı
KULLANILAN FORMÜL VE İLKELER:
- Ardışık sayıların özellikleri (tek/çift sayıların dağılımı).
- Denklem kurma ve çözme.
- Ardışık sayıların toplamı: \text{Terim Sayısı} \times \text{Ortanca Terim}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri Tanımlama ve Toplam Sayıları Belirleme
- Toplam 7 top var: 3 beyaz (B), 4 kırmızı (K).
- Topların üzerine ardışık pozitif tam sayılar yazılıyor. Bu sayılar n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6 olsun.
- Toplam çift sayı adedi ve tek sayı adedi bu ardışık 7 sayı içinde eşit veya bir farkla olabilir.
- Eğer n tek ise: 4 tek, 3 çift
- Eğer n çift ise: 3 tek, 4 çift
Adım 2 — Kırmızı ve Beyaz Toplardaki Tek/Çift Sayıları İlişkilendirme
Sorudaki ilk maddede bir yazım hatası var. Görseldeki orijinal metni temel alıyorum:
- Kırmızı toplarda yazan tek sayı adedi (K_tek), beyaz toplarda yazan tek sayı adedine (B_tek) eşittir. Yani, K_tek = B_tek.
- Kırmızı toplarda yazan çift sayı adedi (K_çift), beyaz toplarda yazan çift sayı adedinin (B_çift) 2 katıdır. Yani, K_çift = 2 * B_çift.
Toplam top sayıları:
- Kırmızı toplar: K_tek + K_çift = 4
- Beyaz toplar: B_tek + B_çift = 3
Denklemleri yerine koyarsak:
- B_tek + 2 * B_çift = 4
- B_tek + B_çift = 3
Bu iki denklemi çözdüğümüzde:
(B_tek + 2 * B_çift) - (B_tek + B_çift) = 4 - 3
B_çift = 1
B_tek = 3 - B_çift = 3 - 1 = 2
Şimdi diğer sayıları bulalım:
- K_tek = B_tek = 2
- K_çift = 2 * B_çift = 2 * 1 = 2
Özetle:
- Beyaz toplarda: 2 tek, 1 çift
- Kırmızı toplarda: 2 tek, 2 çift
- Toplamda: 4 tek, 3 çift
Adım 3 — Çift Sayıların Toplamını Kullanarak Ardışık Sayıları Bulma
Toplamda 3 çift sayı ve 4 tek sayı var. Bu, en küçük sayının (n) tek olduğu anlamına gelir. Ardışık 7 sayımız:
n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6
Burada tek sayılar: n, n+2, n+4, n+6
Çift sayılar: n+1, n+3, n+5
Çift sayıların toplamı 24 olarak verilmiş:
(n+1) + (n+3) + (n+5) = 24
3n + 9 = 24
3n = 15
n = 5
O zaman topların üzerindeki sayılar: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
Adım 4 — Toplardaki Sayıları Dağıtma
Bulduğumuz 7 sayıyı, tek/çift dağılımına uygun olarak beyaz ve kırmızı toplara yerleştirmeliyiz.
- Sayılar: 5 (T), 6 (Ç), 7 (T), 8 (Ç), 9 (T), 10 (Ç), 11 (T)
- Beyaz toplar (3 adet): 2 tek, 1 çift
- Kırmızı toplar (4 adet): 2 tek, 2 çift
Olası bir dağılım:
- Beyaz toplar (2 tek, 1 çift): 5, 7, 6 (veya 8, 10’dan biri)
- Kırmızı toplar (2 tek, 2 çift): 9, 11, 8, 10 (geriye kalanlar)
Bu dağılım, verilen koşulları sağlıyor.
Adım 5 — Tüm Sayıların Toplamını Hesaplama
Toplar üzerinde yazan bütün sayılar 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11’dir.
Bu bir aritmetik dizi olduğu için toplam formülü kullanılabilir:
\text{Toplam} = \frac{\text{Terim Sayısı} \times (\text{İlk Terim} + \text{Son Terim})}{2}
\text{Toplam} = \frac{7 \times (5 + 11)}{2}
\text{Toplam} = \frac{7 \times 16}{2}
\text{Toplam} = 7 \times 8 = 56
Veya doğrudan toplayarak:
5+6+7+8+9+10+11 = 56
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Toplar üzerinde yazan bütün sayıların toplamı \textbf{56}'dır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ardışık Sayılar
- Tanım: Belirli bir kurala göre birbiri ardına gelen sayılar dizisidir. Bu problemde ardışık pozitif tam sayılar kullanılmıştır.
- Bu problemde: Sayıların n, n+1, ..., n+6 şeklinde ifade edilmesi ve tek/çift dağılımlarının incelenmesi temel alınmıştır.
2. Denklem Çözme
- Tanım: Bir veya daha fazla bilinmeyeni olan matematiksel ifadelerdeki bilinmeyen değerleri bulma sürecidir.
- Bu problemde: Kırmızı ve beyaz toplardaki tek/çift sayı adetleri arasındaki ilişkiden denklemler kurulmuş ve çözülmüştür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tek/Çift Sayı Dağılımını Yanlış Yorumlamak
- Yanlış: 7 ardışık sayıda hep 4 çift, 3 tek veya hep 3 çift, 4 tek olduğunu varsaymak.
- Doğru: Ardışık sayı dizisinin başlangıç terimine (n) bağlı olarak tek ve çift sayı adetlerinin değiştiğini göz önünde bulundurmak. (Örn: Eğer n tek ise 4 tek, 3 çift; eğer n çift ise 3 tek, 4 çift).
- Neden yanlış: Bu varsayım, n değerini yanlış bulmaya ve dolayısıyla yanlış bir toplam cevabına götürebilir.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir uygulama problemi çözmemi ister misin?