Rakamlarıniın toplamı ve çarpımų asal sayı olạn üç
basamakl doğal sayılara maestro sayadtverilmiştir.
Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farkli maestro say
vardır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 12
Soru Fotoğrafı:
Rakamlarıniın toplamı ve çarpımų asal sayı olạn üç basamakl doğal sayılara maestro sayadtverilmiştir
Rakamlarının toplamı ve çarpımı asal sayı olan üç basamaklı doğal sayılar sorusu
Kullanılan Kural / Formül:
- Bir sayının rakamları toplamı asal sayıysa ve
- Aynı sayının rakamları çarpımı asal sayı ise,
- Bu sayıya verilen koşullara uygun şekilde 3 basamaklı rakamlar seçilir.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Problemin anlamı
Üç basamaklı bir sayı düşünelim: ABC (A, B, C rakamlarıdır, A ≠ 0)
- A + B + C toplamının asal sayı olması gerekiyor.
- A \times B \times C çarpımının da asal sayı olması gerekiyor.
Adım 2 — Çarpım asal sayı olması için rakamlar analiz edilir
Çarpımın asal sayı olması demek, rakamların çarpımının sadece 1 ve kendisine bölünebilen bir sayı olması gerekir.
- Bir sayının asal olması için en az iki pozitif tam böleni vardır: 1 ve kendisi.
- Rakamlardan en az biri 0 olursa çarpım 0 olur, asal sayı olamaz.
- Eğer rakamlardan ikisinden fazlası 1 değilse çarpım çok büyük olur.
- Çarpımın asal olması için rakamlardan sadece bir tanesinin asal bir sayıya eşit olması ve diğerlerinin 1 olması gerekir. Çünkü 1 çarpanda asal sayıyı değiştirmez, ama başka sayı varsa çarpımı asal yapmaz.
Yani:
- Çarpım = p (asal sayı)
- A, B, C rakamları içinde yalnızca birisi asal sayı, diğerleri 1 olur.
Adım 3 — Olası rakamlar belirlenir
- Rakamlar 0-9 arasında ve A ≠ 0 (üç basamaklı olması için)
- Asal rakamlar: 2, 3, 5, 7
- Diğer rakamlar 1 olabilir.
Olası kombinasyonlar:
- (2,1,1), (3,1,1), (5,1,1), (7,1,1) ve bunların farklı sıralamaları
Adım 4 — Her kombinasyon için rakam toplamı kontrol edilir
- Rakam toplamı için örnek: (2,1,1) toplam = 4 (asal değil)
- (3,1,1) toplam = 5 (asal)
- (5,1,1) toplam = 7 (asal)
- (7,1,1) toplam = 9 (asal değil)
Sadece (3,1,1) ve (5,1,1) kombinasyonları uygun.
Adım 5 — Bu kombinasyonların 3 basamaklı sayılar halinde farklı dizilimleri hesaplanır
- (3,1,1) rakam kombinasyonunun farklı dizilimleri:
- 311, 131, 113 → 3 sayı
- (5,1,1) rakam kombinasyonunun farklı dizilimleri:
- 511, 151, 115 → 3 sayı
Toplam uygun sayı sayısı = 3 + 3 = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: D) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Önemli Kavramlar:
- Asal sayı: 1 ve kendisinden başka böleni olmayan pozitif tam sayı
- Rakamlar toplamı: Sayının rakamlarının toplanması
- Rakamlar çarpımı: Sayının rakamlarının çarpılması
- Asal sayı olma koşulu çok özel durumlar gerektirir, özellikle çarpım için tüm rakamların 1 veya bir asal sayı olması gerekir
Sık Yapılan Hatalar:
Çarpımın asal olması için tüm rakamların asal olması gerektiğini düşünmek
- Yanlış: Tüm rakamların asal olması gerekir.
- Doğru: Çarpımın asal olması için sadece bir rakam asal, diğerleri 1 olmalıdır. Çünkü birden fazla asal rakam varsa çarpım asal olmaz.
Rakam toplamını kontrol etmemek
- Yanlış: Sadece çarpımı asal sayı kontrol etmek yeterli.
- Doğru: Rakam toplamının da asal olması gerekiyor.
Başka örneklerle veya benzer sorularla devam etmek ister misin? Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Rakamlarının toplamı ve çarpımı asal sayı olan üç basamaklı doğal sayılara maestro sayı adı verilmiştir. Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı maestro sayı vardır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Asal sayı tanımı: 1 ve kendisi dışında pozitif böleni olmayan 1’den büyük tamsayı.
- Bir sayı asal ise çarpanlarının sadece 1 ve kendisi olması gerekir.
- Permutasyon sayısı: aynı elemandan tekrar edenler için \dfrac{n!}{k!} formülü kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Rakamları tanımla
Bir üç basamaklı sayının rakamlarını a,b,c ile gösterelim; burada
a\in\{1,2,\dots,9\}
b\in\{0,1,\dots,9\}
c\in\{0,1,\dots,9\}
Adım 2 — Çarpımın asal olma koşulunu incele
-
Eğer herhangi bir rakam 0 ise çarpım 0 olur ve 0 asal değildir. Bu yüzden a,b,c\neq0.
-
Üç pozitif tamsayının çarpımı asal olabilmesi için iki tanesinin 1 ve üçüncüsünün asal olması gerekir (çünkü asal sayının çarpanları sadece 1 ve kendisidir).
-
Bu nedenle rakamlar permütasyonlarıyla (1,1,p) şeklinde olmalıdır; burada p tek basamaklı asal bir sayıdır.
Adım 3 — Tek basamaklı asal p değerleri
Tek basamaklı asal sayılar p\in\{2,3,5,7\}.
p = 2:
1+1+2
= $$4$$
= asal değil
p = 3:
1+1+3
= $$5$$
= asal
p = 5:
1+1+5
= $$7$$
= asal
p = 7:
1+1+7
= $$9$$
= asal değil
Adım 4 — Geçerli p değerleri için kaç sayı oluşur?
-
Geçerli p değerleri 3 ve 5 bulunmuştur.
-
(1,1,p) diziliminden oluşan üç basamaklı sayıların sayısı permütasyon hesaplanarak bulunur:
\frac{3!}{2!}
= $$\frac{6}{2}$$
= $$3$$
- Her bir geçerli p için 3 farklı sayı vardır.
Adım 5 — Toplam sayıyı hesapla
3+3
= $$6$$
CEVAP: 6 (D şıkkı)
TEMEL KAVRAMLAR:
- Asal sayı
- Tanım: 1 ve kendisi dışında pozitif böleni olmayan 1’den büyük tamsayı.
- Bu problemde: Üç rakamın çarpımı yalnızca iki rakam 1 ve üçüncüsü asal olduğunda asal olabilir.
- Permutasyon (tekrar eden elemanlı)
- Tanım: Tekrar eden elemanlar içeren sıralamaların sayısı \dfrac{n!}{k!} formülüyle hesaplanır.
- Bu problemde: İki tane 1 aynı olduğundan üç rakamın düzenlemeleri \dfrac{3!}{2!}=3 olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hata: Sıfır içeren rakamları da saymak
- Yanlış: Eğer bir rakam 0 ise çarpımın asal olduğunu düşünmek.
- Doğru: Sıfır varsa çarpım 0 olur; 0 asal değildir.
- Neden yanlış: Asal sayı tanımıyla çelişir.
- Düzeltme: Rakamlarda 0 varsa hemen elenmelidir.
Hata: Üç rakamın çarpımının asal olabilmesi için tüm rakamların asal olması gerektiğini düşünmek
- Yanlış: Tüm rakamların asal olması gerektiğini varsaymak.
- Doğru: İki rakam 1 ve üçüncü asal olmalıdır.
- Neden yanlış: Asal bir sayının çarpan yapısı unutulmuştur.
- Düzeltme: Çarpımı asal olan çoklu çarpan kombinasyonlarını faktörlere göre inceleyin.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!