Rakamları toplamının 7 katına eşit olan 2 basamaklı kaç
doğal sayı vardır?
A) 4
B) 3
C) 5
D) 6
E) 2
Rakamları Toplamının 7 Katına Eşit Olan İki Basamaklı Doğal Sayıların Adedi
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- İki basamaklı bir ab doğal sayısının basamak çözümlemesi:ab = 10a + b
- Rakamlar için geçerli aralıklar: a \in \{1, 2, 3, \dots, 9\} ve b \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklem Kurma
Aradığımız iki basamaklı sayı ab olsun. Sayının kendisi, rakamları toplamı olan (a + b) ifadesinin 7 katına eşittir:
10a + b = 7 \cdot (a + b)
Adım 2 — Cebirsel İfadeyi Sadeleştirme
Parantezi dağıtıp benzer terimleri eşitliğin iki tarafında toplayalım:
10a + b = 7a + 7b
10a - 7a = 7b - b
3a = 6b
Eşitliğin her iki tarafını 3’e bölelim:
a = 2b
Adım 3 — Rakam Koşullarına Uygun Değerleri Belirleme
a bir basamak (ve onlar basamağı olduğu için a \neq 0) ve b bir rakam olduğuna göre:
- b = 1 için \rightarrow a = 2 \cdot 1 = 2 \implies \text{Sayı: } 21
- b = 2 için \rightarrow a = 2 \cdot 2 = 4 \implies \text{Sayı: } 42
- b = 3 için \rightarrow a = 2 \cdot 3 = 6 \implies \text{Sayı: } 63
- b = 4 için \rightarrow a = 2 \cdot 4 = 8 \implies \text{Sayı: } 84
- b = 5 için \rightarrow a = 10 (a rakam olmak zorunda olduğundan bu değer alınamaz).
Bu şartı sağlayan sayılar kümesi \{21, 42, 63, 84\} olmak üzere toplam 4 tanedir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı — 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Basamak Çözümlemesi
- Tanım: Bir sayının basamak değerlerinin toplamı biçiminde yazılmasıdır.
- Bu problemde: İki basamaklı ab sayısı 10a + b şeklinde açılarak a ile b arasındaki orantı kurulmuştur.
2. Rakam Sınırları
- Tanım: Onluk sayı sisteminde kullanılan \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} kümesinin elemanlarıdır.
- Bu problemde: a onlar basamağında olduğundan 0 olamaz ve a \le 9 şartını sağlamak zorundadır.
SIK YAPILAN HATALAR:
b = 0 Değerini Çözüme Dahil Etmek
- Yanlış: b = 0 \implies a = 0 alınarak 00 sayısını iki basamaklı kabul etmek.
- Doğru: İki basamaklı bir sayının onlar basamağı sıfır olamaz (a \neq 0).
- Neden yanlış: 00 sayısı iki basamaklı bir doğal sayı değildir.
b \ge 5 Değerlerini Denemek
- Yanlış: b = 5 için a = 10 sayısını geçerli saymak.
- Doğru: a bir basamak olduğu için yalnızca tek haneli (0-9 arası) değerler alabilir.
- Neden yanlış: 10 bir rakam değil, iki basamaklı bir sayıdır.
Basamak kavramı ile ilgili benzer bir soru çözmemi ya da bu tür soruların pratik yöntemlerini detaylandırmamı ister misin?