Rakamları toplamının 7 katına eşit olan 2 basamaklı kaç doğal sayı vardır?
A) 4
B) 3
C) 5
D) 6
E) 2
Rakamları Toplamının 7 Katına Eşit Olan İki Basamaklı Doğal Sayılar
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
İki basamaklı bir ab doğal sayısının basamak çözümlemesi:
ab = 10a + b \quad (a \neq 0, \ a \text{ ve } b \text{ birer rakamdır})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Matematiksel Denklemi Kurma
Aranan iki basamaklı sayı ab olsun. Sayının değeri rakamları toplamı olan (a + b) ifadesinin 7 katına eşittir:
10a + b = 7 \cdot (a + b)
Adım 2 — Denklemi Sadeleştirme
Eşitliğin sağ tarafındaki parantezi dağıtalım:
10a + b = 7a + 7b
Benzer terimleri eşitliğin iki tarafına toplayalım:
10a - 7a = 7b - b
3a = 6b
Her iki tarafı 3 ile sadeleştirelim:
a = 2b
Adım 3 — Rakam Koşuluna Uygun Değerleri Belirleme
a ve b birer rakamdır ve ab sayısı iki basamaklı olduğu için a \neq 0 olmalıdır. Dolayısıyla b \neq 0 olmalıdır.
b’ye verilebilecek rakam değerlerine karşılık a’nın aldığı değerleri bulalım:
- b = 1 için a = 2 \cdot 1 = 2 \implies \mathbf{21}
- b = 2 için a = 2 \cdot 2 = 4 \implies \mathbf{42}
- b = 3 için a = 2 \cdot 3 = 6 \implies \mathbf{63}
- b = 4 için a = 2 \cdot 4 = 8 \implies \mathbf{84}
- b = 5 için a = 2 \cdot 5 = 10 (10 bir rakam olmadığı için alınamaz).
Bu koşulu sağlayan 4 farklı doğal sayı vardır: 21, 42, 63, 84.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (4)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Basamak Çözümlemesi
- Tanım: Bir sayının, basamak değerlerinin toplamı biçiminde yazılmasıdır.
- Bu problemde: İki basamaklı ab sayısı 10a + b olarak çözümlenerek cebirsel denklem kurulmuştur.
2. Rakam Olma Şartı
- Tanım: Sayıları oluşturmak için kullanılan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleridir.
- Bu problemde: a = 2b bağıntısında a’nın en fazla 9 olabilmesi, b’nin en çok 4 değerini alabilmesini sağlamıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
b = 0 Değerini Çözüme Dahil Etmek
- Yanlış: b = 0 \implies a = 0 alıp 00 sayısını dahil etmek.
- Doğru: 00 iki basamaklı bir sayı değildir, ilk basamak 0 olamaz (a \neq 0).
- Neden yanlış: İki basamaklı sayıların onlar basamağı sıfırdan farklı bir rakam olmak zorundadır.
Bu soru tipinde basamak sayısı 3’e çıkarıldığında veya kat oranı değiştirildiğinde benzer bir örnek çözmemi ister misin?