Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı bir doğal sayının basamaklarındaki rakamların çarpımı 10’a tam bölünüyorsa bu sayıya havalı sayı adı verilmiştir.
İki havalı sayı arasındaki fark üç basamaklı 8A1 sayısına eşit olduğuna göre, A’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
E) 20
Basamak Analizi ve Bölünebilme Kuralları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir doğal sayının rakamları çarpımının 10’a tam bölünebilmesi için sayının rakamları arasında en az bir adet 5 ve en az bir adet çift rakam (2, 4, 6, 8) bulunmalıdır. Üç basamaklı iki sayının farkı 800’den büyük olduğunda, eksilen sayının yüzler basamağı mecburen 9, çıkan sayının yüzler basamağı ise 1 olmak zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Sayıların Yüzler Basamaklarının Belirlenmesi
X ve Y rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı iki havalı sayı olsun.
X - Y = \overline{8A1} \ge 801
X \le 999 olduğundan, Y \le 999 - 801 = 198 olur. Dolayısıyla Y’nin yüzler basamağı 1, X’in yüzler basamağı ise mecburen 9 olmalıdır:
X = \overline{9de}, \quad Y = \overline{1bc}
Adım 2 — Onlar ve Birler Basamaklarının Özellikleri
- X = \overline{9de} sayısında 9 tek ve 5 olmadığından; \{d, e\} kümesi bir adet 5 ve bir adet çift rakamdan (\{2, 4, 6, 8\}) oluşmalıdır.
- Y = \overline{1bc} sayısında 1 tek ve 5 olmadığından; \{b, c\} kümesi de bir adet 5 ve bir adet çift rakamdan (\{2, 4, 6, 8\}) oluşmalıdır.
Adım 3 — Birler Basamağı Farkı ve Olası Değerler
Farkın yüzler basamağı 9 - 1 = 8 olarak korunduğundan onlar basamağından yüzler basamağına onluk devredilemez (\overline{de} > \overline{bc} olmalıdır).
\overline{de} - \overline{bc} = \overline{A1} = 10A + 1
e ve c rakamları \{2, 4, 5, 6, 8\} kümesinden seçileceğinden ve e - c farkının birler basamağı 1 olduğundan iki durum vardır:
-
1. Durum (e = 5 ve c = 4):
c = 4 ise b = 5 olur (Y = 154). e = 5 olduğundan d \in \{2, 4, 6, 8\} olabilir:- d = 6 \implies 65 - 54 = 11 \implies A = 1 (965 - 154 = 811)
- d = 8 \implies 85 - 54 = 31 \implies A = 3 (985 - 154 = 831)
-
2. Durum (e = 6 ve c = 5):
e = 6 ise d = 5 olur (X = 956). c = 5 olduğundan b \in \{2, 4, 6, 8\} olabilir:- b = 4 \implies 56 - 45 = 11 \implies A = 1 (956 - 145 = 811)
- b = 2 \implies 56 - 25 = 31 \implies A = 3 (956 - 125 = 831)
A’nın alabileceği farklı değerler 1 ve 3 olarak bulunur.
1 + 3 = 4
CEVAP: A) 4 (A \in \{1, 3\})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Üç basamaklı iki sayının farkı 800’lü bir sayı olduğunda, yüzler basamakları tek bir ikiliye (9 ve 1) kilitlenir. Rakamların sıfırdan farklı olduğu belirtildiğinde 10’a bölünebilmenin tek yolunun 5 \times \text{çift rakam} olduğunu görmek soruyu doğrudan çözdürür.