Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı bir doğal sayının basamaklarındaki rakamların çarpımı 10 'a tam

Question Answer
1

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı bir doğal sayının basamaklarındaki rakamların çarpımı 10’a tam bölünüyorsa bu sayıya havalı sayı adı verilmiştir.
İki havalı sayı arasındaki fark üç basamaklı 8A1 sayısına eşit olduğuna göre, A’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
E) 20

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı bir doğal sayının...
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı bir doğal sayının...1024×768 179 KB

2

Basamak Analizi ve Bölünebilme Kuralları

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir sayının basamaklarındaki rakamların çarpımının 10’a tam bölünebilmesi için rakamlardan en az birinin 5 ve en az birinin çift sayı (\{2, 4, 6, 8\}) olması gerekir. Sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlardan oluşan üç basamaklı X ve Y sayıları için X - Y = 8A1 farkı basamak basamak çözümlenir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Basamaklar Arasındaki Çıkarma Bağıntısının Belirlenmesi
Üç basamaklı havalı sayılar X = x_1 x_2 x_3 ve Y = y_1 y_2 y_3 olsun. Verilen fark:

X - Y = 8A1
  • Birler basamağı: Rakamlar sıfırdan farklı olduğundan x_3 < y_3 olamaz (aksi halde 10 + x_3 - y_3 = 1 \implies y_3 - x_3 = 9 olurdu ki bu ancak y_3 = 9, x_3 = 0 ile mümkündür). Dolayısıyla eldesiz çıkarma yapılır:
x_3 - y_3 = 1 \implies y_3 = x_3 - 1
  • Yüzler basamağı: Y üç basamaklı ve sıfırdan farklı olduğundan y_1 \ge 1’dir. Yüzler basamağında x_1 - y_1 = 8 eşitliğini sağlayan tek durum x_1 = 9 ve y_1 = 1’dir.
  • Onlar basamağı: Komşu basamaklardan elde alınmadığı için:
A = x_2 - y_2

Adım 2 — Havalı Sayı Koşullarının İncelenmesi
X = 9 x_2 x_3 ve Y = 1 y_2 y_3 sayılarının havalı sayı olması için her ikisinin rakamları arasında 5 ve en az bir çift rakam bulunmalıdır.

  • Durum 1 (x_3 = 5 olması):

    • y_3 = x_3 - 1 = 5 - 1 = 4 (çift rakam sağlandı).
    • Y = 1 y_2 4 sayısının havalı olması için y_2 = 5 olmak zorundadır (Y = 154).
    • X = 9 x_2 5 sayısının havalı olması için x_2 çift rakam olmalıdır (x_2 \in \{6, 8\}):
      • x_2 = 6 ise A = 6 - 5 = 1 (X = 965, Y = 154 \implies 965 - 154 = 811)
      • x_2 = 8 ise A = 8 - 5 = 3 (X = 985, Y = 154 \implies 985 - 154 = 831)

  • Durum 2 (x_2 = 5 olması):

    • x_3 çift olmalıdır (x_3 \in \{4, 6, 8\}; x_3 = 2 olamaz çünkü y_3 = 1 olur ve y_1 = 1 ile çakışır).
    • x_3 = 6 ise y_3 = 5 olur. Y = 1 y_2 5 sayısının havalı olması için y_2 çift olmalıdır. x_2 \ge y_2 şartından y_2 \in \{2, 4\}:
      • y_2 = 2 ise A = 5 - 2 = 3
      • y_2 = 4 ise A = 5 - 4 = 1

Adım 3 — A’nın Alabileceği Değerler Toplamı
A’nın alabileceği farklı değerler kümesi \{1, 3\} olarak bulunur:

1 + 3 = 4

:white_check_mark: CEVAP: A) 4 (A \in \{1, 3\})

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Rakamların sıfırdan farklı olduğu belirtildiğinde, farkın birler basamağının 1 olması eldeli çıkarma ihtimalini (y_3 - x_3 = 9 \implies x_3 = 0) tamamen ortadan kaldırır. Bu durum soruyu doğrudan bağımsız sütun çıkarmasına dönüştürerek işlem kolaylığı sağlar.