R de tanimli ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için,
f(x+ y)- f(x) +f(y) + 4xy
ve lim
y \rightarrow 0 y
A) 9
-=3 olduğuna göre, f’(2) kaçtır?
B) 10
C) 11
D) 12
E) 14
Soru Fotoğrafı:
Sorunun Özeti
R’de tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için verilen
f(x+y) - f(x) - f(y) + 4xy = 3
eşitliği ve
\lim_{y \to 0} \frac{f(y)}{y} = 3
bilgisine göre f'(2) değerini bulacağız.
Çözüm Adımları
Adım 1 — Fonksiyonun Genel Biçimini Bulma
Verilen eşitliği
f(x+y) - f(x) - f(y) + 4xy = 3
şeklinde yazıyoruz.
Burada bir fonksiyonun Cauchy tipi fonksiyonel denklemi var ve ayrıca sabit bir terim içeriyor. Fonksiyonun bu şekilde olması genellikle ikinci dereceden polinom yapısını düşündürür.
f(x) 'in ikinci dereceden polinom olduğunu varsayalım:
f(x) = ax^2 + bx + c
Adım 2 — Polinom Biçiminde İfadenin Yerine Yazılması
Fonksiyonu yerine koyarsak,
f(x+y) = a(x+y)^2 + b(x+y) + c = a(x^2 + 2xy + y^2) + b(x+y) + c
Verilen eşitlik:
f(x+y) - f(x) - f(y) + 4xy = 3
yerine yazalım:
a(x^2 + 2xy + y^2) + b(x+y) + c - [ax^2 + bx + c] - [ay^2 + by + c] + 4xy = 3
Basitleştirelim:
a(x^2 + 2xy + y^2) + b(x+y) + c - ax^2 - bx - c - ay^2 - by - c + 4xy = 3
a x^2 + 2 a x y + a y^2 + b x + b y + c - a x^2 - b x - c - a y^2 - b y - c + 4 x y = 3
Sadeleştirmelerden sonra geriye kalır:
2 a x y - c + 4 x y = 3
Burada dikkat edelim: c - c - c = -c çünkü üç tane c var: bir pozitif ve iki negatif. Aslında bir pozitif ve iki negatif var mı?
Düzeltelim:
- İlk terimde + c
- İkinci terimde - c
- Üçüncü terimde - c
Toplam:
c - c - c = -c
Evet doğru.
Yani,
2 a x y - c + 4 x y = 3
şeklinde oldu.
Adım 3 — Terimleri Sınıflandırma
Burada x ve y değişken olduğu için, eşitliğin her değer için geçerli olması gerekir.
Terimleri sınıflandırırsak:
(2a + 4) x y - c = 3
Bu, değişkenli terimler ve sabit terimler şeklindedir.
- (2a + 4)xy termi bir katla çarpılır
- -c sabittir
Bu ifadenin her nokta için 3 olabilmesi için değişkenli terimlerin yok olması lazım:
(2a + 4) x y = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -2
Ayrıca, sabit terimin 3 olması gerekir:
-c = 3 \Rightarrow c = -3
Adım 4 — Limiti Kullanarak b yi Bulma
Verilen limit:
\lim_{y\to0} \frac{f(y)}{y} = 3
Fonksiyon formülümüzde:
f(y) = a y^2 + b y + c = -2 y^2 + b y -3
Buradan,
\frac{f(y)}{y} = \frac{-2 y^2 + b y - 3}{y} = -2 y + b - \frac{3}{y}
Limit y \to 0 iken sağlanabilmesi için limitin sonsuz olmaması gerekir. Ama -\frac{3}{y} terimi sonsuza gider.
Bu nedenle limitin sonsuz olmaması için c 'nin sıfır olması gerekir.
Ama daha önce c = -3 bulunmuştu.
Burada bir tutarsızlık var. Demek ki limit ifadesinde bir hata oldu ya da limit şu şekilde verilmiştir:
Soruda limit şöyle ifade edilmiştir:
\lim_{y \to 0} \frac{f(y)}{y} = 3
Ama fonksiyonun sabit terimi sıfır olmalıdır ki limit sonlu olsun.
c = 0 olmalı.
Ama 3. adımda c = -3 bulunmuştu.
Sorunun başlangıç ifadesine dönelim ve düzenleyelim:
Doğru ifadenin aslında
f(x+y) - f(x) - f(y) + 4xy = 0
olması bekleniyor, veya sabit terim 0 olmalı ki limit sonlu olsun.
Soruda fotoğrafta:
f(x+y) - f(x) - f(y) + 4xy = 3
olarak yazılmış ancak limit sağlanamıyor.
Adım 5 — c 'nin 0 olduğu durumu inceleyelim
Eğer c=0 alınırsa,
Fonksiyon:
f(y) = a y^2 + b y
Limit:
\lim_{y \to 0} \frac{a y^2 + b y}{y} = \lim_{y \to 0} a y + b = b = 3
Burada,
b = 3
Adım 6 — a değerini tekrar hesaplayalım
c = 0 alıp denklemi tekrar yazalım:
f(x+y) - f(x) - f(y) + 4xy = 3
fonksiyon olarak:
f(x) = a x^2 + b x + c = a x^2 + 3 x + 0
yazalım:
a (x+y)^2 + 3(x+y) - [a x^2 + 3x] - [a y^2 + 3 y] + 4 x y = 3
işlemi yapalım:
a(x^2 + 2 x y + y^2) + 3 x + 3 y - a x^2 - 3 x - a y^2 - 3 y + 4 x y = 3
Kısalttığımızda:
a x^2 + 2 a x y + a y^2 + 3 x + 3 y - a x^2 - 3 x - a y^2 - 3 y + 4 x y = 3
Sadeleştirdiğimizde:
2 a x y + 4 x y = 3
Yani:
(2a + 4) x y = 3
Bu ifade her x, y için eşit olamaz, bazı sayılar olduğundan dolayı ancak bu her noktada 3 ise bu ancak sabit terim şeklinde olabilir.
Normalde bu form polinomun biçimini belirlemek için tüm x,y için tanımlanmalı, bu da imkansızdır.
Adım 7 — Fonksiyonun şeklini yeniden düşünme
Fonksiyonun sadece bu eşitliği sağlaması mümkünse, f(x) fonksiyonu
f(x) = a x^2 + b x + c
formunda ve-
f(x+y) - f(x) - f(y) = -4 x y + 3
olarak veriliyor.
Bu eşitliğin sağlanması için,
f(x + y) - f(x) - f(y) = \text{bazı fonksiyonel biçimde } C x y + D
genelde bu tür fonksiyonel denklemler için sabit terim yoktur.
Bu nedenle sabit 3 terimi muhtemelen yanlış.
Adım 8 — Fonksiyonun türevini hesaplama
Eğer:
f(x) = a x^2 + b x
ise,
f'(x) = 2 a x + b
b = 3 ve a = -2 ise,
f'(2) = 2 \times (-2) \times 2 + 3 = -8 + 3 = -5
Ancak bu seçeneklerde yok.
Sonuç
Soruda verilen bilgiler veya yazımda çelişki var. Çünkü limitin sonlu olması için c = 0 olmalı. Oysa verilen fonksiyonel ifade sabit terim içeriyor.
Bu nedenle sınavda doğru çözüm için verilen ifadede ya sabit terim yoktur veya limit farklıdır.
Öneri
Fonksiyonun şu şekle benzetelim:
f(x + y) = f(x) + f(y) - 4 x y + 3
ve limit
\lim_{y\to 0} \frac{f(y)}{y} = 3
Buradan f(0) değerini bulmak için x=y=0 alınırsa:
f(0+0) = f(0) + f(0) - 0 + 3 \implies f(0) = 2 f(0) + 3 \implies f(0) = -3
Dolayısıyla c = f(0) = -3 .
Yukarıdaki polinom varsayımına göre:
f(x) = a x^2 + b x -3
Buradan
f(y) = a y^2 + b y -3 \implies \frac{f(y)}{y} = a y + b - \frac{3}{y}
Limitin var olması için \frac{3}{y} yok olmalı, bu da mümkün değil.
Sonuç:
Bu soruda verilen limit ifadesi veya fonksiyonel denklem çelişkili. O yüzden standart yöntemlerle çözüm verilemiyor.
Başka bir örnek çözüm veya içerik isteğin olursa seve seve yardımcı olurum!
R’de tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için, f(x+y)-f(x)-f(y)=4xy ve \displaystyle \lim_{y\to0}\frac{f(y)}{y}=3 olduğuna göre f'(2) kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Türev ve limit ilişkisi: Diferansiyellenebilir bir fonksiyon için \displaystyle \lim_{y\to0}\frac{f(y)}{y}=f'(0) (eğer f(0)=0 ise).
- Fonksiyonel denklemde sağlanması gereken eşitlikleri katsayı karşılaştırması ile çözme.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonun biçimini varsayma ve fonksiyonel denklemi çözme
Varsayalım
f(x)=Ax^2+Bx+C.
f(x+y)-f(x)-f(y)
= $$ A(x+y)^2 + B(x+y) + C - (Ax^2+Bx+C) - (Ay^2+By+C) $$
= $$ A(x^2+2xy+y^2) + Bx + By + C - Ax^2 - Bx - C - Ay^2 - By - C $$
= $$ 2Axy - C. $$
Fonksiyonel denkleme göre bu ifade 4xy olmalıdır, yani
2Axy - C = 4xy.
Katsayıları karşılaştıralım:
2A = 4
= $$ A = 2. $$
-C = 0
= $$ C = 0. $$
Adım 2 — Limit koşulunu kullanma ile B sabitini bulma
Setup:
\frac{f(y)}{y}
= $$ \frac{Ay^2 + By + C}{y} $$
= $$ Ay + B + \frac{C}{y}. $$
C = 0 olduğu için
\lim_{y\to0}\frac{f(y)}{y} = B.
Verilen limite göre B=3.
Böylece
f(x)=2x^2+3x.
Adım 3 — Türevi alıp f'(2) hesaplama
Setup:
f'(x)
= $$ \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(3x) $$
= $$ 4x + 3. $$
f'(2)
= $$ 4\cdot 2 + 3 $$
= $$ 8 + 3 $$
= $$ 11. $$
Bu nedenle f'(2)=11.
CEVAP: 11
TEMEL KAVRAMLAR:
- Türev
- Tanım: Bir fonksiyonun değişim hızını verir.
- Bu problemde: \displaystyle \lim_{y\to0}\frac{f(y)}{y} limiti bize f'(0) hakkında bilgi verdi ve katsayı B’yi bulmamızı sağladı.
- Katsayı karşılaştırması
- Tanım: İki çokterimli ifadenin eşit olması için tüm ilgili katsayıların eşit olması gerektiği kuralı.
- Bu problemde: xy teriminin katsayısını ve sabiti karşılaştırarak A ve C değerlerine ulaştık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yanlış: Fonksiyonun sabit terimini ihmal etmek veya limitten doğrudan f'(2) çıkarmaya çalışmak.
- Doğru: Fonksiyonel denklemi polynomial varsayımıyla çöz ve limit koşulunu B için kullan.
- Neden yanlış: Sabit terim C limitin varlığını etkiler; doğru C bulunmadan limit yorumlanamaz.
- Düzeltme: Önce A,C bulunmalı, sonra limit ile B belirlenmelidir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?