R de tanımlı türevlenebilir bir f fonksiyonu için
f(x + y) - f(x) + f(y) + 4xy
ve
\ \lim_{y \to 0} \frac{f(y)}{y} = 3 olduğuna göre, \ f'(2) kaçtır?
Soru Fotoğrafı:
R’de tanımlı türevlenebilir bir f fonksiyonu için f'(2) değerinin bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Fonksiyonun türev tanımı ve limit kuralları.
- Verilen fonksiyonel ifadeyi düzenleyerek türev ile ilişkilendirme.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen ifadeyi incele
Verilen eşitlik:
f(x + y) - f(x) + f(y) = 4xy
Burada tam olarak eşitlik doğru okunmalı: Görseldeki ifadeye bakıldığında muhtemelen,
f(x + y) - f(x) - f(y) = 4xy
doğrusu budur (çünkü f(x + y) - f(x) + f(y) - 4xy ifadesi eşitlik olarak verilmemiş). Bu tür fonksiyonel denklemlerde genellikle şöyle olur:
f(x + y) = f(x) + f(y) + 4xy
Adım 2 — Fonksiyonun şeklini tahmin et
Bu tür bir fonksiyonel denklem, genellikle şöyle bir forma sahiptir:
f(x) = ax^2 + bx + c
çünkü f(x+y) ifadesi, f(x) + f(y) + 4xy şeklindeyse, ikinci dereceden bir terim olabilir.
Adım 3 — Fonksiyonun genel şeklini yaz
f(x) = ax^2 + bx + c olsun. O zaman:
f(x + y) = a(x + y)^2 + b(x + y) + c = a(x^2 + 2xy + y^2) + b x + b y + c
f(x) + f(y) + 4xy = a x^2 + b x + c + a y^2 + b y + c + 4 x y = a x^2 + a y^2 + b x + b y + 2c + 4 x y
Adım 4 — Eşitliği karşılaştır
f(x + y) = f(x) + f(y) + 4 x y olduğuna göre,
a(x^2 + 2 x y + y^2) + b x + b y + c = a x^2 + a y^2 + b x + b y + 2 c + 4 x y
Her iki tarafı sadeleştir:
a x^2 + 2 a x y + a y^2 + b x + b y + c = a x^2 + a y^2 + b x + b y + 2 c + 4 x y
a x^2, a y^2, b x, b y terimleri her iki tarafta da var, onları çıkaralım:
2 a x y + c = 2 c + 4 x y
Eşitliği yeniden yaz:
2 a x y + c = 2 c + 4 x y
Adım 5 — Katsayıları karşılaştır
- Tarafların x y terimlerine bakarsak:
2 a x y = 4 x y \implies 2 a = 4 \implies a = 2
- Sabit terimler için:
c = 2 c \implies c = 0
Adım 6 — Fonksiyonun limiti kullanarak b’yi bulma
Verilen limit:
\lim_{y \to 0} \frac{f(y)}{y} = 3
f(y) = 2 y^2 + b y + 0 olduğuna göre,
\frac{f(y)}{y} = \frac{2 y^2 + b y}{y} = 2 y + b
Limit alınca:
\lim_{y \to 0} (2 y + b) = b = 3
Yani b = 3.
Adım 7 — Fonksiyonun türevidini bul
f(x) = 2 x^2 + 3 x
f'(x) = 4 x + 3
Adım 8 — f'(2) değerini hesapla
f'(2) = 4 \times 2 + 3 = 8 + 3 = 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: f'(2) = 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Fonksiyonel Denklem
- Bir fonksiyonun belirli bir eşitliği sağlaması
- Burada fonksiyonun ikinci dereceden olduğu anlaşıldı.
2. Limit
- Fonksiyonun türeviden bağımsız olarak, \lim_{y \to 0} \frac{f(y)}{y} ifadesinin kullanımı
3. Türev
- Fonksiyonun türev formülünün bulunması ve türevin bir noktadaki değeri
YAYGIN HATALAR:
a katsayısını yanlış hesaplamak
- Yanlış: Sabit terim c’yi ya da x y terimlerini ihmal etmek
- Doğru: Çok terimli ifadelerde her terimi grup olarak karşılaştırmak gerekiyor
Limit ifadesinden b değerini yanlış almak
- Yanlış: y giderken terimleri yanlış düzenlemek
- Doğru: Limiti düzgün biçimde sadeleştirmek
Başka bir örnek ister misin, ya da adımlarda takıldığın bölümleri açıklayayım mı? Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
R’de tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(x+y)-f(x)-f(y)-4xy=0 ve \displaystyle \lim_{y\to0}\frac{f(y)}{y}=3 olduğuna göre, f'(2) kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Türev tanımı: f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
- Fonksiyonel denklem türevi alma: Eşitliğin her iki tarafını sabit bir değişkene göre türevleyebiliriz.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x=0 koyarak f(0)'ı bulma
Denklem:
f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy
Blank line
x=0 koy:
f(0+y)=f(0)+f(y)+4\cdot 0\cdot y
Blank line
f(y)=f(0)+f(y)
Blank line
f(0)=0
Adım 2 — Denklemden y’ye göre türev al (x sabit)
Kurulum (türev alacağız):
f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy
Blank line
Sol tarafın türevi:
Birinci terim:
\frac{d}{dy}f(x+y)=f'(x+y)
Blank line
Sağ tarafın terimleri ayrı ayrı:
İkinci terim:
\frac{d}{dy}f(x)=0
Blank line
Üçüncü terim:
\frac{d}{dy}f(y)=f'(y)
Blank line
Dördüncü terim:
\frac{d}{dy}(4xy)=4x
Blank line
Bunları eşitle:
f'(x+y)=0+f'(y)+4x
Blank line
f'(x+y)=f'(y)+4x
Adım 3 — y=0 koy ve f'(x) ifadesini elde et
Kurulum:
f'(x+y)=f'(y)+4x
Blank line
y=0 koy:
f'(x+0)=f'(0)+4x
Blank line
f'(x)=f'(0)+4x
Adım 4 — f'(0)'ı limitle ilişkilendir ve f'(2) yi hesapla
Kurulum (türev tanımı):
f'(0)=\lim_{y\to0}\frac{f(0+y)-f(0)}{y}
Blank line
f(0)=0 olduğundan:
f'(0)=\lim_{y\to0}\frac{f(y)}{y}
Blank line
Verilen limit:
f'(0)=3
Blank line
f'(x) formülüne yaz:
f'(x)=3+4x
Blank line
x=2 için:
f'(2)=3+4\cdot 2
Blank line
f'(2)=3+8
Blank line
f'(2)=11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \mathbf{11}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Türev
- Tanım: Bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim hızıdır.
- Bu problemde: \displaystyle f'(0)=\lim_{y\to0}\frac{f(y)-f(0)}{y} kullanıldı; f(0)=0 olduğu için verilen limit doğrudan f'(0) oldu.
- Fonksiyonel denklemden türev alma
- Tanım: Bir eşitliğin her iki tarafı uygun değişkene göre türevlenebilir ve böylece fonksiyonun türevine dair ilişki elde edilir.
- Bu problemde: f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy den y’ye göre türev alınarak f'(x+y)=f'(y)+4x bulundu.
SIK YAPILAN HATALAR:
f(0)'ı atlamak
- Yanlış: f(0)'ın sıfır olduğunu varsaymamak.
- Doğru: x=0 koyularak f(0)=0 bulunur.
- Neden yanlış: f(0) bilinmeden türev tanımıyla verilen limit doğrudan f'(0) olarak kullanılamaz.
- Düzeltme: Mutlaka x=0 testi yapın ve f(0)'ı belirleyin.
Türev alırken terimleri karıştırmak
- Yanlış: 4xy’nin türevini 4y sanmak.
- Doğru: x sabit iken \frac{d}{dy}(4xy)=4x.
- Neden yanlış: Hangi değişkene göre türev alındığı karıştırılır.
- Düzeltme: Türev alınırken hangi değişken sabit ona dikkat edin.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?