p:
a
= 0 ve b= 0
q:
a
+ b^{2}= 0
r:
a
=0 ya da b = 0
s:
a-b = 0
o nanak ah
önermeleri veriliyor. ueil netal A
Buna göre
önermelerinden hangileçikesinliksle doğrudur?
5 A) YalízI
BYYalniz ||
(e
ve
a, b \in \mathbb{R} İçin Mantık Önermelerinin Doğruluğunun İncelenmesi
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Gerçek Sayılarda Kareler Toplamı: a, b \in \mathbb{R} için a^2 + b^2 = 0 \iff a = 0 \text{ ve } b = 0
- “Ya da” (\underline{\vee}) Bağlacı: Önermelerden yalnızca biri doğruyken doğru, her ikisi aynı doğruluk değerine sahipken yanlıştır.
- “Veya” (\lor) Bağlacı ve Çarpım: a \cdot b = 0 \iff a = 0 \lor b = 0 (en az biri sıfır olmalıdır).
- Koşullu Önerme (\Rightarrow): 1 \Rightarrow 0 \equiv 0, diğer tüm durumlarda 1’dir.
- İki Yönlü Koşullu Önerme (\Leftrightarrow): Her iki önerme aynı doğruluk değerine sahipken 1, farklıyken 0’dır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Önermelerin Anlamlarını Belirleme
- p: "a = 0 \text{ ve } b = 0" \rightarrow Her iki sayı da sıfırdır.
- q: "a^2 + b^2 = 0" \rightarrow Gerçek sayılarda iki sayının kareleri toplamı sıfır ise a = 0 ve b = 0 olmak zorundadır. Dolayısıyla q \equiv p olur.
- r: "a = 0 \text{ ya da } b = 0" \rightarrow Sayılardan yalnızca biri sıfırdır, her ikisi birden sıfır olamaz.
- s: "a \cdot b = 0" \rightarrow Çarpımın sıfır olması için a = 0 veya b = 0 (biri veya her ikisi sıfır) olmalıdır.
Adım 2 — I. Öncülün (q \Rightarrow p) Doğruluğunu İnceleme
q önermesi doğru olduğunda (a^2 + b^2 = 0), a = 0 ve b = 0 olmak zorundadır. Bu durum doğrudan p önermesini sağlar.
q \equiv 1 \implies p \equiv 1 \implies (1 \Rightarrow 1) \equiv 1
Dolayısıyla q \Rightarrow p önermesi kesinlikle doğrudur.
Adım 3 — II. Öncülün (r \Leftrightarrow s) Doğruluğunu İnceleme
a = 0 ve b = 0 durumunu ele alalım:
- r önermesi: 0 = 0 \underline{\vee} 0 = 0 \equiv 1 \underline{\vee} 1 \equiv 0 (Yanlış)
- s önermesi: 0 \cdot 0 = 0 \equiv 1 (Doğru)
- Buradan: r \Leftrightarrow s \equiv 0 \Leftrightarrow 1 \equiv 0 elde edilir.
Her durumda sağlanmadığı için r \Leftrightarrow s önermesi kesinlikle doğru değildir.
Adım 4 — III. Öncülün (q \Rightarrow s) Doğruluğunu İnceleme
q önermesi doğru olduğunda a = 0 ve b = 0 olur. Bu durumda a \cdot b = 0 \cdot 0 = 0 olduğundan s önermesi de kesinlikle doğru olur.
q \equiv 1 \implies s \equiv 1 \implies (1 \Rightarrow 1) \equiv 1
Dolayısıyla q \Rightarrow s önermesi kesinlikle doğrudur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) I ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Gerçek Sayılarda Kareler Toplamı Özelliği
- Tanım: a, b \in \mathbb{R} olmak üzere a^2 \ge 0 ve b^2 \ge 0 olduğundan, a^2 + b^2 = 0 eşitliği yalnızca a = 0 ve b = 0 iken sağlanır.
- Bu problemde: q önermesinin doğrudan p önermesine denk olduğunu gösterir.
2. “Ya da” ile “Veya” Bağlacının Farkı
- Tanım: “Ya da” (\underline{\vee}) bağlacı iki durumun aynı anda gerçekleşmesine izin vermezken; a \cdot b = 0 şartı “veya” (\lor) bağlacı içerir ve her iki değişkenin aynı anda sıfır olmasına imkân tanır.
- Bu problemde: II. öncülün (r \Leftrightarrow s) her iki sayı da sıfır olduğunda yanlış çıkmasını sağlamıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
r ve s Önermelerini Birbirine Denk Saymak
- Yanlış: a \cdot b = 0 eşitliğini yalnızca “ya da” bağlacı gibi düşünüp r \Leftrightarrow s önermesine kesin doğru demek.
- Doğru: a \cdot b = 0 ifadesi a = 0 \lor b = 0 anlamına gelir. a=0 ve b=0 iken s doğru (1), fakat r “ya da” içerdiği için yanlış (0) olur.
- Neden yanlış: “Ya da” bağlacı ile “veya” bağlacının doğruluk tabloları 1-1 durumunda birbirinden farklıdır.
Bu konuyla ilgili mantık bağlaçları içeren benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?