Bir limit bir de trigonometri sorusu ikisini de çözer misin
Sorular ve Çözümleri:
1. Limit Sorusu
Soru:
\lim_{x \to 4} \frac{(12 - x)(x - 5)}{-x^3 + 5x^2 - 25x + 44}
Çözüm Detayları:
Soruyu çözmek için pay ve paydanın x \to 4 noktasındaki davranışını inceleyeceğiz. Görünüşe göre, hem pay hem de payda x = 4’te sıfıra yaklaşıyor, yani bir \frac{0}{0} belirsizliği durumu söz konusu. Bunun için öncelikle paydanın ve payın çarpanlarına ayrılıp sadeleştirilmesi gerekiyor.
İlk olarak, verilen fonksiyonları tekrar yazalım:
- Pay: (12 - x)(x - 5)
- Payda: -x^3 + 5x^2 - 25x + 44
Paydayı Çarpanlarına Ayıralım:
Paydanın köklerini bulmamız gerekiyor. Bunun için polinoma x=4’ü (çünkü limit bu noktaya yaklaşıyor) yerine koyarak bir kök olup olmadığını kontrol ederiz:
f(x) = -x^3 + 5x^2 - 25x + 44
f(4) = -(4)^3 + 5(4)^2 - 25(4) + 44 = -64 + 80 - 100 + 44 = 0
Bu durumda x = 4, paydanın bir kökü olduğundan x - 4 ile tam bölünebilir. Şimdi polinomu (x - 4) ile bölelim.
Polinomu Uzun Bölme İle Çarpanlarına Ayırma:
-x^3 + 5x^2 - 25x + 44 \div (x - 4)
-
-x^3 \div x = -x^2, bu ilk terimdir. Bunu x - 4 ile çarpıp çıkartalım:
-x^3 + 4x^2Kalan:
(5x^2 - 4x^2) - 25x + 44 = x^2 - 25x + 44 -
x^2 \div x = +x, bu ikinci terimdir. x’i x - 4 ile çarptığımızda:
x^2 - 4xKalan:
(-25x + 4x) + 44 = -21x + 44 -
-21x \div x = -21, bu son terimdir. -21’i x - 4 ile çarptığımızda:
-21x + 84Kalan:
(44 - 84) = -40
Sonuç olarak paydayı şu şekilde yazabiliriz:
-x^3 + 5x^2 - 25x + 44 = (x - 4)(-x^2 + x - 21)
Şimdi limit fonksiyonunu tekrar yazalım:
\lim_{x \to 4} \frac{(12 - x)(x - 5)}{(x - 4)(-x^2 + x - 21)}
x - 4’ler sadeleştirilir:
\lim_{x \to 4} \frac{(12 - x)(x - 5)}{-x^2 + x - 21}
Son olarak x = 4 yerine koyarak sonucu hesaplayalım.
Hesaplama:
\text{Pay: } (12 - 4)(4 - 5) = 8(-1) = -8
\text{Payda: } -(4)^2 + 4 - 21 = -16 + 4 - 21 = -33
Sonuç:
\lim_{x \to 4} \frac{(12 - x)(x - 5)}{-x^3 + 5x^2 - 25x + 44} = \frac{-8}{-33} = \frac{8}{33}
2. Trigonometri Sorusu
Soru:
\frac{\cos(3x) - 5 \sin(x)}{\sin(x)} \quad \text{ise $\tan$ karşılığı nedir?}
Çözüm Detayları:
Verilen ifadeyi düzenlemek için trigonometri kurallarını kullanalım:
\frac{\cos(3x) - 5\sin(x)}{\sin(x)}
Bu ifadeyi iki ayrı terime bölelim:
\frac{\cos(3x)}{\sin(x)} - \frac{5\sin(x)}{\sin(x)}
Bu durumda:
\frac{\cos(3x) - 5\sin(x)}{\sin(x)} = \frac{\cos(3x)}{\sin(x)} - 5
\frac{\cos(3x)}{\sin(x)}'i İnceleyelim:
Bilindiği üzere, kotanjant \cot tanımına göre:
\frac{\cos(3x)}{\sin(x)} = \cot(3x)
Sonuç:
\frac{\cos(3x) - 5\sin(x)}{\sin(x)} = \cot(3x) - 5
Sonuçlar
| Soru | Çözüm |
|---|---|
| \lim_{x \to 4} \frac{(12 - x)(x - 5)}{-x^3 + 5x^2 - 25x + 44} | \frac{8}{33} |
| \frac{\cos(3x) - 5\sin(x)}{\sin(x)} | \cot(3x) - 5 |