Question about the derivative of a function

Maths Question
1

Question about the derivative of a function
f ve g tanımlı oldukları aralıkta türevlenebilir iki fonksiyon olmak üzere,

\frac{g\left(x \right)}{x} = g\left(f\left(x \right) \right) olarak veriliyor.

• g(2) = 4, f(2) = 2
• gprime(2) = gprime(4) = 1
Olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun üzerindeki x = 2 apsisli noktadan çizilen teğetin eğimi kaçtır?

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli825×800 43.9 KB

2

f(x) Fonksiyonunun x = 2 Noktasındaki Teğetin Eğimi

Verilen:

\frac{g(x)}{x} = g(f(x))
  • g(2) = 4 ,
  • f(2) = 2 ,
  • g'(2) = 1 ,
  • g'(4) = 1 .

Bu bilgiler ışığında, f(x) fonksiyonunun x=2 noktasındaki teğetin eğimini hesaplayacağız.

Çözüm Adımları:

Adım 1 — Verilen fonksiyonun türevi için zincir kuralı kullanımı

Verilen eşitlik:

\frac{g(x)}{x} = g(f(x))

Her iki tarafın türevini alalım.

Sol tarafın türevi:

\left(\frac{g(x)}{x}\right)' = \frac{g'(x) \cdot x - g(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{xg'(x) - g(x)}{x^2}

Sağ tarafın türevi (zincir kuralı):

\frac{d}{dx}g(f(x)) = g'(f(x)) \cdot f'(x)

Yani,

\frac{xg'(x) - g(x)}{x^2} = g'(f(x)) \cdot f'(x)

Adım 2 — x = 2 değerlerini yerine koyma

Bilinenler:

g(2) = 4, \quad g'(2) = 1, \quad g'(4) = 1, \quad f(2) = 2

Öncelikle sol taraf türevini x = 2 için hesaplayalım:

\frac{2 \cdot g'(2) - g(2)}{2^2} = \frac{2 \cdot 1 - 4}{4} = \frac{2 - 4}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}

Sağ taraf için ise:

g'(f(2)) \cdot f'(2) = g'(2) \cdot f'(2) = 1 \cdot f'(2) = f'(2)

Adım 3 — Eşitliği kurma ve türev değerini bulma

-\frac{1}{2} = f'(2)

Sonuç:

\boxed{f'(2) = -\frac{1}{2}}

:bullseye: Temel Kavramlar:

  • Zincir Kuralı: Bir bileşik fonksiyonun türevi, iç fonksiyonun türevinin dış fonksiyonun türevine çarpılmasıdır.
  • Türev: Fonksiyonun herhangi bir noktadaki değişim hızını veya grafiğin o noktadaki eğimini verir.
  • Verilen değerlerin yerine konması ve işlemlerin dikkatli yapılması türev problemlerini çözer.

:warning: Sık yapılan hata:

  • Zincir kuralı uygulanırken iç fonksiyon türevini almamak.
  • Verilen noktadaki fonksiyon ve türev değerlerini karıştırmak.

Başka bir örnek veya açıklama ister misin? Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

f ve g tanımlı oldukları aralıkta türevlenebilir iki fonksiyon olmak üzere, \dfrac{g(x)}{x}=g(f(x)). g(2)=4,\; f(2)=2,\; g'(2)=g'(4)=1 olduğuna göre f(x) fonksiyonunun x=2 apsisli noktadan çizilen teğetin eğimi kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Zincir Kuralı: \dfrac{d}{dx}g(f(x))=g'(f(x))\cdot f'(x)
  • Çarpım/Kuvvet Kuralı: \dfrac{d}{dx}\big(g(x)\,x^{-1}\big)=g'(x)x^{-1}+g(x)\dfrac{d}{dx}(x^{-1})

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Her iki tarafı türevle (kurulum)

Her iki tarafı x göre türevleyelim:

\frac{d}{dx}\left(\frac{g(x)}{x}\right)=\frac{d}{dx}\big(g(f(x))\big)

Adım 2 — Sol tarafın türevidir (çarpım olarak yazıp hesapla)

Sol tarafın kurulumu:

\frac{d}{dx}\left(\frac{g(x)}{x}\right)=\frac{d}{dx}\big(g(x)\cdot x^{-1}\big)

Birinci terim:

\frac{d}{dx}\big(g(x)\big)\cdot x^{-1}

=

g'(x)\cdot x^{-1}

İkinci terim:

g(x)\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)

=

g(x)\cdot(-1)\cdot x^{-2}

=

-g(x)\,x^{-2}

Toparlarsak:

\frac{d}{dx}\left(\frac{g(x)}{x}\right)=g'(x)x^{-1}-g(x)x^{-2}

=

\frac{g'(x)}{x}-\frac{g(x)}{x^2}

=

\frac{g'(x)\,x-g(x)}{x^2}

Adım 3 — Sağ tarafın türevidir (zincir kuralı)

Sağ tarafın kurulumu:

\frac{d}{dx}\big(g(f(x))\big)=g'(f(x))\cdot f'(x)

Adım 4 — x = 2 için değerlendir ve eşitle

Sol tarafın x=2 değerini hesaplayalım:

\left.\frac{g'(x)}{x}\right|_{x=2}

=

\frac{g'(2)}{2}
\left.\frac{g(x)}{x^2}\right|_{x=2}

=

\frac{g(2)}{2^2}

=

\frac{4}{4}

=

1

Dolayısıyla sol taraf:

\left.\left(\frac{g'(x)}{x}-\frac{g(x)}{x^2}\right)\right|_{x=2}

=

\frac{g'(2)}{2}-1

=

\frac{1}{2}-1

=

-\frac{1}{2}

Sağ tarafın x=2 değeri:

\left.g'(f(x))\cdot f'(x)\right|_{x=2}

=

g'(f(2))\cdot f'(2)

=

g'(2)\cdot f'(2)

=

1\cdot f'(2)

=

f'(2)

Eşitleyelim:

f'(2)=-\frac{1}{2}

:white_check_mark: CEVAP: f'(2)=-\dfrac{1}{2}

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Zincir Kuralı
  • Tanım: Bir bileşke fonksiyonun türevi, dış fonksiyonun türevi iç fonksiyonun yerine yazılarak iç fonksiyonun türevi ile çarpılır.
  • Bu problemde: g(f(x)) ifadesinin türevi g'(f(x))\cdot f'(x) şeklinde alındı.
  1. Çarpım/Kuvvet Kuralı
  • Tanım: İki fonksiyonun çarpımı türevlenirken birinin türevi diğerinin çarpımıyla toplanır; kuvvet için x^{-1} kullanıldı.
  • Bu problemde: \dfrac{g(x)}{x}=g(x)\cdot x^{-1} şeklinde yazılıp ürün kuralı uygulandı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Bölümü unutmak

  • Yanlış: \dfrac{g(x)}{x} ifadesinin türevini sadece g'(x) olarak almak.
  • Doğru: Ürün veya bölüm kuralı uygulanmalı: \dfrac{g'(x)}{x}-\dfrac{g(x)}{x^2}.
  • Neden yanlış: Bölümdeki x fonksiyonunun türevi ihmal ediliyor.
  • Düzeltme: Her terimin türeviden geçtiğinden emin olun.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

4

doğruların arasındaki açının derecesi nedir

5

Doğruların Arasındaki Açının Derecesini Hesaplama

Verilen şekil ve bilgiler ışığında, doğru \overline{CB} ile \overline{BA} arasındaki açıyı bulmamız gerekiyor.

Bilgiler:

  • Noktalar:
    A\left(\frac{23}{6}, p\right) , B , C\left(-\frac{13}{4}, k\right)
  • A noktasından g fonksiyonuna, C noktasından f fonksiyonuna teğet doğrular B noktasında kesişiyor.
  • f(x) = x^2 + 6x + 21
  • g(x) = -x^2 + 8x + a
  • Amaç:
    m(\angle CBA) açısını derece cinsinden bulmak.

Çözüm Adımları:

Adım 1 — Fonksiyonların türevini hesapla

Teğet doğruların eğimleri, fonksiyonların türevlerinin ilgili noktadaki değerleridir.

f(x)' = 2x + 6
g(x)' = -2x + 8

Adım 2 — B noktasının koordinatlarını bul

Teğet doğrular B noktasında kesişiyor, yani f'(x) ve g'(x) değerleri o noktada doğruların eğimi olacak.

Noktanın x koordinatını x = x_B olarak alalım.

Adım 3 — f fonksiyonunun teğet doğrusu C noktasından geçiyor

C noktasında f(x) fonksiyonuna teğet doğru, eğimi f'(x_C) ve x_C = -\frac{13}{4} .

Eğim:

m_f = f'\left(-\frac{13}{4}\right) = 2 \times \left(-\frac{13}{4}\right) + 6 = -\frac{26}{4} + 6 = -6.5 + 6 = -0.5

Adım 4 — f fonksiyonunun C noktasındaki y değeri:

f\left(-\frac{13}{4}\right) = \left(-\frac{13}{4}\right)^2 + 6 \times \left(-\frac{13}{4}\right) + 21 = \frac{169}{16} - \frac{78}{4} + 21

Ortak payda yapalım:

= \frac{169}{16} - \frac{312}{16} + \frac{336}{16} = \frac{169 - 312 + 336}{16} = \frac{193}{16} \approx 12.06

C noktası: \left(-\frac{13}{4}, \frac{193}{16}\right)

Adım 5 — C noktasından geçen teğet doğrunun denklemi

Eğim kullanılarak doğrusal denklem:

y - y_C = m_f (x - x_C)
y - \frac{193}{16} = -0.5 \left(x + \frac{13}{4}\right)

Adım 6 — g fonksiyonunda A noktasına teğet olan doğru

A\left(\frac{23}{6}, p\right) noktasında g(x) fonksiyonuna teğet.

Eğim:

m_g = g'\left(\frac{23}{6}\right) = -2 \times \frac{23}{6} + 8 = -\frac{46}{6} + 8 = -7.6667 + 8 = 0.3333

Adım 7 — A noktasındaki g fonksiyonunun y değeri

g\left(\frac{23}{6}\right) = -\left(\frac{23}{6}\right)^2 + 8 \times \frac{23}{6} + a

Detaylı a değeri verilmediğinden, a bilinmiyor. Ancak noktadır ve eğim aynıdır, doğrusal teğet denklemi:

y - p = m_g \left(x - \frac{23}{6}\right)

Adım 8 — B noktasının koordinatlarını bul

Doğrular B noktasında kesişiyor, yani hem f teğet denklemi hem g teğet doğrusu bu noktada bir araya geliyor.

B noktası bu doğruların kesişim noktasıdır.

Adım 9 — Doğruların eğimleri

  • f doğrusu eğimi: m_f = -0.5
  • g doğrusu eğimi: m_g = 0.3333

Adım 10 — Aralarındaki açıyı bul

İki doğrunun eğimleri m_1 ve m_2 verildiğinde aralarındaki açı \theta :

\tan(\theta) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|

Burada:

m_1 = -0.5, \quad m_2 = 0.3333
\tan(\theta) = \left| \frac{-0.5 - 0.3333}{1 + (-0.5)(0.3333)} \right| = \left| \frac{-0.8333}{1 - 0.16665} \right| = \left| \frac{-0.8333}{0.83335} \right| \approx 1

Adım 11 — \theta değerini hesapla

\theta = \arctan(1) = 45^\circ

Ancak cevap şıklarda 45° yok ve soru m(\angle CBA) açısını soruyor. Bu açı, doğruların B noktasındaki birleşim açısıdır ve genellikle iç açı olarak hesaplanır.

Adım 12 — Doğru açı için

İki doğru arasındaki açıyı hesaplamak için:

\alpha = \arctan\left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|

Ancak \alpha genellikle 0° ile 90° arasındadır. Soru şıklarında 90° yok, ancak 105, 120, 135, 150 var.

Belki açının tamamlayıcıları veya 180^\circ - \alpha hesaplanmalı.

Adım 13 — Alternatif açı

180^\circ - 45^\circ = 135^\circ

Bu, şıklarda (D) 135° olarak var.

Sonuç:

\boxed{135^\circ}

Yani, doğrular arasındaki açı 135^\circ olarak bulunur.

:warning: Not: Bu hesaplama, verilen eğim değerlerinden ve teğetlik koşullarından yapılan mantıklı çıkarımlardır. Noktaların tam koordinatları veya a, p, k gibi değerler verilirse daha kesin hesaplama yapılabilir.

Başka bir konu veya örnek istersen yardımcı olabilirim! Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: