Soru:
olduğuna göre, a’nın değer aralıklarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Soru Fotoğrafı:
Denklemin köklerinin terslerinin toplamı negatif olduğuna göre, a’nın değer aralığı nedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
-
Bir ikinci dereceden denklemin kökleri x_1 ve x_2 için,
- Toplamları x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
- Çarpımları x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
-
Ayrıca, verilen ifade:
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} < 0İfadeyi payda eşitleyerek,
\frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2} < 0
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemin katsayılarını yaz
Denklemimiz:
ax^2 - (a+2)x - a^2 + 3a = 0
Burada,
- a = a
- b = -(a+2)
- c = -a^2 + 3a
Adım 2 — Köklerin toplamı ve çarpımını yaz
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-(a+2)}{a} = \frac{a+2}{a}
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-a^2 + 3a}{a} = -a + 3
Adım 3 — İfade eşitliğini düzenle
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{\frac{a+2}{a}}{-a + 3} = \frac{a+2}{a(-a + 3)} < 0
Adım 4 — İneşeni sağlayan a değerini bul
Şimdi,
\frac{a+2}{a(3 - a)} < 0
aşağıdaki üçüncü dereceden bölenleri göz önünde bulundururuz:
- Payda: a(3 - a)
- Pay: a + 2
Bölmeyi sıfıra eşitle:
- a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2
- a = 0
- 3 - a = 0 \Rightarrow a = 3
Böylece kritik noktalar: -2, 0, 3.
Adım 5 — Aralık testleri yap
- Aralıklara bakalım:
-
a < -2 örneğin a = -3:
- Pay: -3 + 2 = -1 < 0
- Payda: -3 \cdot (3 - (-3)) = -3 \cdot 6 = -18 < 0
- Bölüm: negatif / negatif = pozitif → Yanlış
-
-2 < a < 0 örneğin a = -1:
- Pay: -1 + 2 = 1 > 0
- Payda: -1 \cdot (3 - (-1)) = -1 \cdot 4 = -4 < 0
- Bölüm: pozitif / negatif = negatif → Doğru
-
0 < a < 3 örneğin a = 1:
- Pay: 1 + 2 = 3 > 0
- Payda: 1 \cdot (3 - 1) = 1 \cdot 2 = 2 > 0
- Bölüm: pozitif / pozitif = pozitif → Yanlış
-
a > 3 örneğin a = 4:
- Pay: 4 + 2 = 6 > 0
- Payda: 4 \cdot (3 - 4) = 4 \cdot (-1) = -4 < 0
- Bölüm: pozitif / negatif = negatif → Doğru
Adım 6 — Sonuç
Negatif sonuç veren aralıklar:
- -2 < a < 0 ve
- a > 3
Şıklara baktığımızda,
- (-3, -1) şıkkı içine -2 < a < 0 aralığı girmektedir.
Bu nedenle doğru cevap:
B) (-3, -1)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) (-3, -1)
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
ax^2 - (a + 2)x - a^2 + 3a = 0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2 ise, \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} < 0 olduğuna göre, a’nın değer aralıklarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Vieta: İkinci derece denklem için
x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Toplam ve çarpımın bulunması
x_1 + x_2
= -\dfrac{-(a+2)}{a}
= \dfrac{a+2}{a}
x_1 x_2
= \dfrac{-a^2+3a}{a}
= -a+3
Adım 2 — İstenen ifadenin sadeleştirilmesi
\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}
= \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}
= \dfrac{\dfrac{a+2}{a}}{-a+3}
= \dfrac{a+2}{a(3-a)}
İşaret eşitsizliği:
\dfrac{a+2}{a(3-a)} < 0
Kritik noktalar: a=-2,\; a=0,\; a=3 (bu değerlerde ifade sıfır veya tanımsızdır).
Adım 3 — Ara aralıkların işareti (kısa kontrol)
- a<-2 için örnek a=-3:
(a+2)= -1 (negatif)
a(3-a)= -3\cdot 6 = -18 (negatif)
Bölüm: negatif / negatif = pozitif → eşitsizlik sağlanmaz.
- -2<a<0 için örnek a=-1:
(a+2)= 1 (pozitif)
a(3-a)= -1\cdot 4 = -4 (negatif)
Bölüm: pozitif / negatif = negatif → eşitsizlik sağlanır.
- 0<a<3 için örnek a=1:
(a+2)= 3 (pozitif)
a(3-a)= 1\cdot 2 = 2 (pozitif)
Bölüm: pozitif / pozitif = pozitif → eşitsizlik sağlanmaz.
- a>3 için örnek a=4:
(a+2)= 6 (pozitif)
a(3-a)= 4\cdot(-1) = -4 (negatif)
Bölüm: pozitif / negatif = negatif → eşitsizlik sağlanır.
Çözüm kümesi: (-2,0)\cup(3,\infty) ( a\neq -2,0,3 ).
Adım 4 — Seçenekleri tek tek inceleme
Adım 4 — A Seçeneğini İncele
A) (-\infty,-2)
Örnek a=-3 ile
(a+2)= -1
a(3-a)= -3\cdot 6 = -18
Bölüm: negatif / negatif = pozitif → YANLIŞ
Adım 4 — B Seçeneğini İncele
B) (-3,-1)
İçinde hem -2.5 (uymaz) hem -1.5 (uyar) değerleri vardır.
Örnek a=-2.5
(a+2)= -0.5
a(3-a)= -2.5\cdot 5.5 = -13.75
Bölüm: negatif / negatif = pozitif → bu alt aralıkta eşitsizlik sağlanmaz.
Örnek a=-1.5
(a+2)= 0.5
a(3-a)= -1.5\cdot 4.5 = -6.75
Bölüm: pozitif / negatif = negatif → bu alt aralıkta eşitsizlik sağlanır.
Aralık hem sağlayan hem sağlamayan değer içerdiğinden YANLIŞ (tamamen doğru bir aralık değil).
Adım 4 — C Seçeneğini İncele
C) (0,3)
Örnek a=1
(a+2)= 3
a(3-a)= 1\cdot 2 = 2
Bölüm: pozitif / pozitif = pozitif → YANLIŞ
Adım 4 — D Seçeneğini İncele
D) (3,5)
Örnek a=4
(a+2)= 6
a(3-a)= 4\cdot(-1) = -4
Bölüm: pozitif / negatif = negatif → aralıktaki tüm değerler >3 olduğundan aralık tamamı çözümü içerir → DOĞRU
Adım 4 — E Seçeneğini İncele
E) (1,4)
Aralık (1,4) içinde 1< a <3 kısmı eşitsizliği sağlamaz, 3<a<4 kısmı sağlar. Yani aralık karışık olduğundan YANLIŞ.
Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
D. (3, 5) — DOĞRU — aralığın tüm elemanları çözüm kümesinin bir parçasıdır.
A. (-∞, -2) — YANLIŞ — bu aralığın elemanları eşitsizliği sağlamaz.
B. (-3, -1) — YANLIŞ — aralık hem sağlayan hem sağlamayan değerler içerir.
C. (0, 3) — YANLIŞ — bu aralığın elemanları eşitsizliği sağlamaz.
E. (1, 4) — YANLIŞ — karışık; aralığın tamamı çözümü içermez.
Adım 6 — Son Doğrulama
Çözüm kümesi (-2,0)\cup(3,\infty) olduğundan, tamamen bu küme içinde olan tek seçenek (3,5)tir. Bu nedenle doğru seçenek D’dir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
CEVAP: D) (3, 5)