Q(x)-ax+ bx +ox +d olduğuna göre, a+b+c+d kaçtır?

Maths Question
1

R(x)=(2x–5) +3x -1
Q(x)-ax+ bx +ox +d
polinomlari
veriliyor.
R(4x+1) =Q2%)
olduğuna göre, a+b+c+d kaçtır?
A) 10
B) 9
C)6
D) 5
E)3

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 43 KB

2

Sorunun Çözümü

:light_bulb: Kullanılan Kural:
Polinomlarda, verilen eşitlikte değişken yerine konulan ifadeler yerine yazılarak katsayılar karşılaştırılır.

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — R(x) ifadesini açalım:

R(x) = (2x - 5)^3 + 3x - 1

Öncelikle (2x - 5)^3 ifadesini açalım:

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$ formülünü kullanalım:

  • a = 2x
  • b = 5

Buna göre:

(2x)^3 - 3 (2x)^2 (5) + 3 (2x) (5)^2 - 5^3 = 8x^3 - 3 \times 4x^2 \times 5 + 3 \times 2x \times 25 - 125
= 8x^3 - 60x^2 + 150x -125

Şimdi R(x)'i yazalım:

R(x) = 8x^3 - 60x^2 + 150x - 125 + 3x - 1 = 8x^3 - 60x^2 + 153x - 126

Adım 2 — R(4x +1)'i yazalım:

R(4x+1) = 8(4x+1)^3 - 60(4x+1)^2 + 153(4x+1) - 126

Şimdi sırasıyla:

  • (4x + 1)^3 = (4x)^3 + 3(4x)^2(1) + 3(4x)(1)^2 + 1^3 = 64x^3 + 48x^2 + 12x + 1
  • (4x + 1)^2 = (4x)^2 + 2 \times 4x \times 1 + 1^2 = 16x^2 + 8x + 1

Yerine koyalım:

R(4x+1) = 8(64x^3 + 48x^2 + 12x + 1) - 60(16x^2 + 8x + 1) + 153(4x + 1) - 126

Şimdi açalım:

= 8 \times 64x^3 + 8 \times 48x^2 + 8 \times 12x + 8 \times 1 - 60 \times 16x^2 - 60 \times 8x - 60 \times 1 + 153 \times 4x + 153 \times 1 - 126
= 512x^3 + 384x^2 + 96x + 8 - 960x^2 - 480x - 60 + 612x + 153 - 126

Adım 3 — Terimleri toplayalım:

  • x^3 terimi: 512x^3
  • x^2 terimi: 384x^2 - 960x^2 = -576x^2
  • x terimi: 96x - 480x + 612x = (96 - 480 + 612)x = 228x
  • Sabit terim: 8 - 60 + 153 - 126 = (8 - 60) + (153 - 126) = -52 + 27 = -25

Son haliyle:

R(4x+1) = 512x^3 - 576x^2 + 228x - 25

Adım 4 — Q(2x)'i yazalım:

Q(x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

Buna göre:

Q(2x) = a(2x)^3 + b(2x)^2 + c(2x) + d = 8a x^3 + 4b x^2 + 2 c x + d

Adım 5 — Verilen eşitlik:

R(4x+1) = Q(2x)

Yani:

512x^3 - 576x^2 + 228x - 25 = 8a x^3 + 4b x^{2} + 2 c x + d

Adım 6 — Terimleri karşılaştıralım:

  • Katsayıları eşitleyelim:
Derece R(4x+1) Katsayısı Q(2x) Katsayısı Eşitlik
x^3 512 8a 512 = 8a
x^2 -576 4b -576 = 4b
x 228 2c 228 = 2c
Sabit -25 d -25 = d

Her birini çözelim:

  • 512 = 8a \implies a = \frac{512}{8} = 64
  • -576 = 4b \implies b = \frac{-576}{4} = -144
  • 228 = 2c \implies c = \frac{228}{2} = 114
  • d = -25

Adım 7 — a + b + c + d toplamı:

64 + (-144) + 114 + (-25) = 64 - 144 + 114 - 25

İşlem adımları:

  • 64 - 144 = -80
  • -80 + 114 = 34
  • 34 - 25 = 9

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

1. Polinomların yerine koyma işlemi

  • P(x) polinomunda x yerine başka bir ifade konularak yeni bir polinom elde edilir.

2. Katsayı karşılaştırma yöntemi

  • İki eşit polinomun aynı derecelerdeki katsayıları eşit olur, bu yöntem bilinmeyen katsayıları bulmada kullanılır.

:warning: Yaygın Hata:

  • Katsayıları yanlış terimlerle eşleştirmek veya sabit terimi karıştırmak sık görülen hata.

Başka örneklerle pratik yapmak ister misin? :rocket:

3

R(x) = (2x-5)^3 + 3x - 1, Q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d; R(4x+1) = Q(2x) olduğuna göre a + b + c + d kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Polinomlarda yerine koyma (substitution) ve katsayıların eşitliği (her terim derecesine göre katsayılar eşit olmalı).

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — R(4x+1) ifadesini hesapla

R(4x+1) = (2(4x+1)-5)^3 + 3(4x+1) - 1
= (8x+2-5)^3 + 3(4x+1) - 1
= (8x-3)^3 + 12x + 3 - 1
= (8x-3)^3 + 12x + 2

Birinci terim:

(8x-3)^3
= 8^3 x^3
= 512 x^3

İkinci terim:

3\cdot 8^2 \cdot (-3) x^2
= 3 \cdot 64 \cdot (-3) x^2
= 192 \cdot (-3) x^2
= -576 x^2

Üçüncü terim:

3\cdot 8 \cdot (-3)^2 x
= 3 \cdot 8 \cdot 9 x
= 24 \cdot 9 x
= 216 x

Dördüncü terim:

(-3)^3
= -27
(8x-3)^3 = 512 x^3 - 576 x^2 + 216 x - 27
R(4x+1) = 512 x^3 - 576 x^2 + 216 x - 27 + 12x + 2

x terimlerini topla:

216 x + 12 x
= 228 x

Sabit terimleri topla:

-27 + 2
= -25
R(4x+1) = 512 x^3 - 576 x^2 + 228 x - 25

Adım 2 — Q(2x) ifadesini yaz

Q(2x) = a(2x)^3 + b(2x)^2 + c(2x) + d

Birinci terim:

a(2x)^3
= a \cdot 8 x^3
= 8a x^3

İkinci terim:

b(2x)^2
= b \cdot 4 x^2
= 4b x^2

Üçüncü terim:

c(2x)
= 2c x

Dördüncü terim:

d
Q(2x) = 8a x^3 + 4b x^2 + 2c x + d

Adım 3 — Katsayıları karşılaştır ve a, b, c, d değerlerini bul

Birinci denklem:

8a = 512
a = \frac{512}{8}
a = 64

İkinci denklem:

4b = -576
b = \frac{-576}{4}
b = -144

Üçüncü denklem:

2c = 228
c = \frac{228}{2}
c = 114

Dördüncü denklem:

d = -25

Adım 4 — a + b + c + d toplamını hesapla

a + b + c + d
= 64 + (-144) + 114 + (-25)
= 64 - 144
= -80
= -80 + 114
= 34
= 34 - 25
= 9

:white_check_mark: CEVAP: 9

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Polinomlarda yerine koyma
  • Tanım: Bir polinomun değişkenine başka bir ifade konması.
  • Bu problemde: R(4x+1) hesaplanarak Q(2x) ile eşitleniyor.
  1. Katsayıların eşitliği
  • Tanım: İki polinom her x değeri için eşitse, aynı derecedeki terimlerin katsayıları eşittir.
  • Bu problemde: x^3, x^2, x ve sabit terimlerin katsayıları karşılaştırıldı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Dereceleri karıştırmak

  • Yanlış: Q(2x) ifadesini hesaplamadan doğrudan a=512 gibi almak.
  • Doğru: Önce Q(2x) = 8a x^3 + 4b x^2 + 2c x + d olarak yazılmalı.
  • Neden yanlış: 2x yerine düzgün kuvvet uygulanmazsa katsayılar hatalı olur.
  • Düzeltme: Her terimin (2x)^n şeklinde açımını doğru yap.

:cross_mark: Sabit terimleri atlamak

  • Yanlış: -27 ve +2’yi toplamayı unutmak.
  • Doğru: Sabitler ayrı toplanmalı (-25 çıkmalı).

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?