Q Rightarrow s önermelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

YKS TYT
1
  1. Necla Öğretmen A ve B pozitif gerçek sayılar olmak üzere Şekil 1’deki soruyu yazmış ve öğrencisi Ayşe’den soruyu çözmesini istemiştir.
    A dot B =1
    Şekil 1
    Çarpma işlemi yerine bölme işlemi yapan Ayşe, yine de doğru cevap olan 2 sayısını elde etmiştir. Daha sonra Necla Öğretmen Şekil 2’deki soruyu sormuştur.
    A + B dot A - B =1
    Şekil 2
    Şekil 2’deki + ve - işlemlerinin yerlerini karıştıran Ayşe’nin bulduğu sonuç, bulması gereken sonucun kaç katıdır?
    A) \frac{5}{3}
    B) \frac{6}{7}
    C) \frac{5}{6}
    D) \frac{3}{2}
    E) 1
  2. Betül defterine periyodik olarak,
    triangle Box irc Box triangle Box irc Box triangle Box irc Box triangle Box irc Box
    şekillerini her satırında 7 şekil bulunan 20 satır biçiminde yazmıştır.
    Buna göre bu 20 satıra kaç tanesi triangle şekli ile bitmiştir?
    A) 3
    B) 4
    C) 5
    D) 6
    E) 7
  3. Ahmet Bey çocukları Ali, Can ve Sema’ya beşer bin TL yaz harçlığı vermiştir.
    Ali harçlığından her gün 100 TL,
    Sema harçlığından her gün 80 TL harcamıştır.
    Çocuklar harçlıklarını harcamaya başladıktan x gün sonra Ali, Can ve Sema’nın kalan paraları sırasıyla a, b ve c TL olmuştur.
    a + b > c olduğuna göre (x + 1). gün sonunda bu üç çocuğun kalan paraları toplamı en az kaç TL’dir?
    A) 4000
    B) 5200
    C) 4500
    D) 5400
    E) 5400
  4. a ve b gerçek sayılar olmak üzere,
    p:
a = 0 ve b = 0

q:

a^2 + b^2 = 0

r:

a = 0 ya da b = 0

s:

a dot b = 0

önermeleri veriliyor.
Buna göre
I. q Rightarrow p
II. r Rightarrow s
III. q Rightarrow s
önermelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) I ve III
E) I, II ve III

Necla Öğretmen A ve B pozitif gerçek sayılar olmak üzere Şekil 1'deki soruyu yazmış ve...
Necla Öğretmen A ve B pozitif gerçek sayılar olmak üzere Şekil 1'deki soruyu yazmış ve...800×824 77.4 KB

2

Aşağıda görselde yer alan tüm soruların ayrıntılı ve adım adım çözümleri yer almaktadır.

Soru 13: Önermeler ve Mantık

:light_bulb: KULLANILAN KAVRAMLAR VE KURALLAR:

  • Gerçek sayılarda a^2 + b^2 = 0 \iff a = 0 \text{ ve } b = 0
  • “Ya da” (\veebar) bağlacı: Bileşenlerden yalnızca birinin doğru olduğu durumu ifade eder.
  • a \cdot b = 0 \iff a = 0 \text{ veya } b = 0
  • p \Rightarrow q koşullu önermesi, p doğru iken q da daima doğru oluyorsa kesinlikle doğrudur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Önermelerin Doğruluk Durumlarının Belirlenmesi

  • p önermesi: a = 0 \text{ ve } b = 0
  • q önermesi: a^2 + b^2 = 0 \implies Reel sayılarda karelerin toplamı sıfır ise her iki sayı da sıfır olmak zorundadır (a = 0 \text{ ve } b = 0). Dolayısıyla q \equiv p’dir.
  • r önermesi: a = 0 \text{ ya da } b = 0 \implies Sayılardan yalnız biri sıfırdır, diğeri sıfırdan farklıdır.
  • s önermesi: a \cdot b = 0 \implies a = 0 \text{ veya } b = 0 (en az biri sıfırdır).

Adım 2 — I. Öncülün İncelenmesi (q \Rightarrow p)
q önermesi sağlandığında (a^2 + b^2 = 0), zorunlu olarak a = 0 ve b = 0 olur. Bu da p önermesini doğrudan sağlar.

  • Dolayısıyla q \Rightarrow p önermesi kesinlikle doğrudur.

Adım 3 — II. Öncülün İncelenmesi (r \Rightarrow s)
r önermesi sağlandığında sayılardan biri 0, diğeri sıfırdan farklı bir reel sayıdır. Bir sayının sıfır ile çarpımı daima sıfır olacağından a \cdot b = 0 (s önermesi) kesinlikle sağlanır.

  • Dolayısıyla r \Rightarrow s önermesi kesinlikle doğrudur.

Adım 4 — III. Öncülün İncelenmesi (q \Rightarrow s)
q önermesi sağlandığında a = 0 ve b = 0 olur. Bu durumda a \cdot b = 0 \cdot 0 = 0 olur ve s önermesi sağlanır.

  • Dolayısıyla q \Rightarrow s önermesi kesinlikle doğrudur.

Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
:cross_mark: A) Yalnız I — II ve III de doğrudur.
:cross_mark: B) Yalnız II — I ve III de doğrudur.
:cross_mark: C) I ve II — III de doğrudur.
:cross_mark: D) I ve III — II de doğrudur.
:white_check_mark: E) I, II ve III — Her üç koşullu önerme de kesinlikle doğrudur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) I, II ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Soru 10: Sayı Değerleri ve İşlem Önceliği

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / BİLGİ:

  • İki bilinmeyenli denklem sistemi çözümü ve işlem sırası.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A ve B Sayılarının Bulunması

  • Şekil 1’de doğru cevap 2’dir: A \cdot B = 2
  • Ayşe çarpma yerine bölme yaptığında da 2 bulmuştur: \frac{A}{B} = 2 \implies A = 2B
  • A = 2B eşitliğini ilk denklemde yerine yazalım:
    (2B) \cdot B = 2 \implies 2B^2 = 2 \implies B^2 = 1
  • A ve B pozitif reel sayı olduğundan B = 1 ve A = 2 bulunur.

Adım 2 — Bulunması Gereken Doğru Sonucun Hesaplanması

  • Şekil 2’deki ifade: A + B - A \cdot B
  • Değerleri yerine koyalım:
    2 + 1 - (2 \cdot 1) = 3 - 2 = 1

Adım 3 — Ayşe’nin Bulduğu Sonucun Hesaplanması

  • Ayşe + ve \cdot işlemlerinin yerini değiştirdiğinde ifade A \cdot B - A + B olur:
    (2 \cdot 1) - 2 + 1 = 2 - 2 + 1 = 1

Adım 4 — Oranın Bulunması

  • Bulunan sonuç / Olması gereken sonuç:
    \frac{1}{1} = 1

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Soru 11: Periyodik Şekil Dizileri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / BİLGİ:

  • Periyot T ve modüler aritmetik: n \equiv k \pmod T

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Şekil Dizisinin Periyodunun Bulunması

  • Şekil sırası: \Delta, \square, \bigcirc, \bigcirc, * şeklinde 5 elemanda bir tekrar etmektedir.
  • Periyot T = 5’tir.
  • \Delta (üçgen) şekli her periyodun 1. sırasındaki şekildir.

Adım 2 — Satır Sonlarının İncelenmesi

  • Her satırda 7 şekil bulunmaktadır.
  • k. satırın bittiği yerdeki toplam şekil sayısı 7k’dır.
  • Satırın \Delta ile bitmesi için 7k \equiv 1 \pmod 5 olmalıdır.

Adım 3 — Denklemin Çözümü

  • 7 \equiv 2 \pmod 5 olduğundan:
    2k \equiv 1 \pmod 5
  • Her iki tarafı 3 ile çarpalım (2 \times 3 = 6 \equiv 1):
    k \equiv 3 \pmod 5

Adım 4 — Satır Sayısının Hesaplanması

  • Toplam 20 satır vardır (k \in \{1, 2, 3, \dots, 20\}).
  • k \equiv 3 \pmod 5 şartını sağlayan k değerleri:
    k \in \{3, 8, 13, 18\}
  • Toplam 4 satır \Delta şekli ile bitmiştir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Soru 12: Eşitsizlik ve Kalan Para Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / BİLGİ:

  • Kalan Para = Başlangıç Parası - (Günlük Harcama \times Gün Sayısı)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — x Gün Sonra Kalan Paraların Yazılması

  • Başlangıçta her birinin 5000\text{ TL} parası vardır.
  • Ali’nin kalan parası: a = 5000 - 100x
  • Can’ın kalan parası: b = 5000 - 120x
  • Sema’nın kalan parası: c = 5000 - 80x

Adım 2 — a + b > c Eşitsizliğinin Çözülmesi

(5000 - 100x) + (5000 - 120x) > 5000 - 80x
10000 - 220x > 5000 - 80x
5000 > 140x \implies x < \frac{5000}{140} = \frac{250}{7} \approx 35{,}71
  • x bir tam gün sayısı olduğundan x’in alabileceği en büyük tam sayı değeri 35’tir.

Adım 3 — (x + 1). Gün Sonunda Kalan Toplam Paranın Hesaplanması

  • Kalan paranın en az olması için geçen gün sayısı x en büyük (x = 35) seçilmelidir.
  • (x + 1) = 35 + 1 = 36. gün sonunda:
  • Toplam başlangıç parası: 3 \times 5000 = 15000\text{ TL}
  • Günlük toplam harcama: 100 + 120 + 80 = 300\text{ TL}
  • 36 günde harcanan toplam tutar:
    36 \times 300 = 10800\text{ TL}
  • Kalan toplam para:
    15000 - 10800 = 4200\text{ TL}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 4200
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Mantık veya periyodik dizi sorularıyla ilgili benzer pekiştirme soruları çözmemi ister misiniz?