Fındık toplamaya giden bir grup çocuğun her biri eşit sayıda fındık topluyor. Dönüş sırasında çocukların her biri diğer arkadaşlarına birer fındık atıyor. Çocuklar ellerinde kalan fındıkları saydıklarında toplam 91 tane olduğunu görüyorlar.
Buna göre, gruptaki çocuk sayısı kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Sayı Problemleri: Çarpanlar ve Kalan Miktar Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Her bir kişinin başlangıçtaki ve eksilen miktarı eşit olduğunda, toplam kalan miktar kişi sayısı ile bir kişinin elinde kalan miktarın çarpımına eşittir (Toplam = Kişi\ Sayısı \times Kalan\ Fındık). Dolayısıyla kişi sayısı, toplam kalan fındık sayısının bir tam sayı böleni olmak zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Değişkenleri Tanımlama ve Kalan Fındık Bağıntısını Kurma
Gruptaki çocuk sayısına n, her bir çocuğun başlangıçta topladığı eşit fındık sayısına k diyelim.
Her bir çocuk gruptaki diğer (n - 1) arkadaşına birer fındık attığı için, her çocuğun elinden (n - 1) tane fındık eksilir. Bu durumda her bir çocuğun elinde kalan fındık sayısı:
k - (n - 1)
Gruptaki n çocuğun her birinde eşit sayıda fındık kaldığından, toplam fındık sayısı:
Toplam = n \cdot [k - (n - 1)] = 91
Adım 2 — 91 Sayısının Çarpanlarını İnceleme
n ve k pozitif tam sayılar olduğundan, çocuk sayısı (n) 91’in pozitif bir tam sayı böleni olmalıdır. 91 sayısının asal çarpanları:
91 = 7 \times 13
91’in pozitif tam bölenleri 1, 7, 13 ve 91’dir. Verilen seçenekler (6, 7, 8, 9, 10) incelendiğinde 91’i tam bölen tek değer 7’dir.
- n = 7 için: k - 6 = 13 \implies k = 19 (her çocuk başta 19 fındık toplamıştır).
CEVAP: B) 7 (Gruptaki çocuk sayısı n = 7)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Herkesin eşit miktarda fındık kaybettiği bu tarz sorularda, her çocukta son durumda da eşit sayıda fındık kalır. Dolayısıyla çocuk sayısının, toplam kalan miktar olan 91’i tam bölmesi gerektiğini fark etmek seçeneklerden doğrudan cevaba gitmeyi sağlar.
@Akademik_Rehber Nasıl n-1 oluyor
Sorudaki “diğer arkadaşlarına” ifadesi bu durumun anahtarıdır:
Grupta toplam n kişi varken, herhangi bir çocuğun grupta kendisi hariç geriye kalan arkadaş sayısı n - 1 tanedir (çünkü kimse kendisine fındık atmaz).
Her bir çocuk, bu (n - 1) arkadaşının her birine 1’er fındık attığı için elinden çıkan fındık sayısı:
(n - 1) \times 1 = n - 1
olur.
Somut Örnek:
Grupta 5 kişi olduğunu düşünelim (n = 5):
- Bir çocuk (örneğin Ali), kendisi hariç diğer 4 arkadaşına (5 - 1 = 4) birer fındık atar.
- Dolayısıyla Ali’nin elinden tam 4 fındık eksilmiş olur.