Fındık toplamaya giden bir grup çocuğun her biri eşit sayıda fındık topluyor. Dönüş sırasında çocukların her biri diğer arkadaşlarına birer fındık atıyor. Çocuklar ellerinde kalan fındıkları saydıklarında toplam 91 tane olduğunu görüyorlar.
Buna göre, gruptaki çocuk sayısı kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Fındık Paylaşımı ve Sayı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\text{Toplam Kalan Fındık} = \text{Çocuk Sayısı} \times (\text{Bir Çocuğun Başlangıçtaki Fındığı} - \text{Attığı Fındık Sayısı})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri Tanımlama
Gruptaki çocuk sayısına n, her bir çocuğun başlangıçta topladığı eşit fındık sayısına ise x diyelim.
Adım 2 — Atılan ve Kalan Fındık Miktarını Belirleme
Grupta n kişi olduğuna göre, her bir çocuk kendisi dışındaki diğer (n - 1) arkadaşına birer fındık atmıştır.
Dolayısıyla bir çocuğun elinden çıkan fındık sayısı (n - 1) tanedir.
Bir çocuğun elinde kalan fındık sayısı:
x - (n - 1)
Gruptaki n çocuğun elinde kalan toplam fındık sayısı:
\text{Toplam Fındık} = n \cdot [x - (n - 1)] = 91
Adım 3 — Çarpanlara Ayırma ve Doğrulama
Çocuk sayısı (n) ve kişi başına kalan fındık sayısı pozitif birer tam sayı olmak zorundadır. Bu nedenle n, 91 sayısının bir tam böleni olmalıdır.
91 sayısının pozitif tam sayı bölenleri:
91 = 1 \times 91
91 = 7 \times 13
Bölenler kümesi: \{1, 7, 13, 91\}
Seçenekler incelendiğinde (6, 7, 8, 9, 10), 91’in böleni olan tek değer 7’dir.
- n = 7 için:
x - (7 - 1) = 13 \implies x - 6 = 13 \implies x = 19
(Her çocuk başta 19 fındık toplamış, 6 tanesini atmış ve elinde 13 fındık kalmıştır: 7 \times 13 = 91.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Tam Sayı Bölünebilirliği: Problemlerde kişi, nesne ve adet gibi büyüklükler tam sayı olmak zorunda olduğundan, çarpım sonucunun bölenleri incelenerek sonuca doğrudan ulaşılabilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Her çocuğun n tane fındık attığını düşünerek denklemi n \cdot (x - n) = 91 şeklinde kurmak.- Doğru Yaklaşım: Bir kişi kendisine fındık atamayacağı için geriye kalan arkadaş sayısı daima (n - 1) olur.
Bu tür bölünebilme mantığı içeren benzer bir sayı problemi daha çözmek ister misin?
@sorumatik_ai Hayır 13 te olur
Seçenek Kısıtı ve Matematiksel Çözüm Kümesi
Matematiksel olarak tespitin kesinlikle doğrudur. Denklem incelendiğinde n = 13 değeri de eşitliği kusursuz bir şekilde sağlar.
İKİ DURUMUN KARŞILAŞTIRILMASI:
Kurduğumuz temel denklem:
n \cdot [x - (n - 1)] = 91
91 sayısının pozitif çarpanları 1, 7, 13 ve 91 olduğuna göre iki farklı durum ortaya çıkar:
-
Durum (n = 13 durumu):
- Çocuk sayısı: n = 13
- Kişi başına kalan fındık: x - (13 - 1) = 7 \implies x - 12 = 7 \implies x = 19
- Bu senaryoda her çocuk başta 19 fındık toplamış, 12 tanesini arkadaşlarına dağıtmış ve elinde 7 fındık kalmıştır (13 \times 7 = 91). Bu durum teorik olarak tamamen geçerlidir.
-
Durum (n = 7 durumu):
- Çocuk sayısı: n = 7
- Kişi başına kalan fındık: x - (7 - 1) = 13 \implies x - 6 = 13 \implies x = 19
- Bu senaryoda her çocuk başta 19 fındık toplamış, 6 tanesini arkadaşlarına dağıtmış ve elinde 13 fındık kalmıştır (7 \times 13 = 91).
SORUNUN ÇÖZÜMÜ NEDEN 7’DİR?
Soruda verilen seçenekler:
- A) 6
- B) 7
- C) 8
- D) 9
- E) 10
Çözüm kümesinde yer alan \{7, 13\} değerlerinden yalnızca 7 şıklarda yer aldığı için test tekniği gereği işaretlenmesi gereken doğru cevap B seçeneğidir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
SONUÇ: Matematiksel olarak n \in \{7, 13\} olabilir; ancak sorunun seçenekleri 13’ü içermediği için cevap 7 olarak alınır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülen benzer bir kurgu daha incelemek ister misin?
@sorumatik_ai 91 de olur ama 1 olamaz
Çözüm Kümesinin Sınır Değer Analizi (n = 1 ve n = 91)
Bu tespit hem matematiksel modelleme hem de problemdeki Türkçe ifadelerin mantıksal analizi açısından tamamen doğrudur.
91 sayısının pozitif tam sayı bölenleri kümesi \{1, 7, 13, 91\} üzerinden bu iki sınır durum incelendiğinde:
DURUM ANALİZİ:
1. Neden n = 1 Olamaz? (Bağlamsal İmkânsızlık)
- Problem Metni: “Bir grup çocuk…” ve “…her biri diğer arkadaşlarına birer fındık atıyor.”
- Mantıksal Çelişki:
- “Grup” ifadesi en az iki kişiden oluşur (n \ge 2).
- n = 1 olduğunda bir çocuğun “diğer arkadaşları” kümesi boştur (n - 1 = 0). Ortada fındık atılacak bir arkadaş bulunmadığı için eylem gerçekleşemez.
- Dolayısıyla n = 1 değeri problemin kurgusu gereği tanımsızdır/elenir.
2. Neden n = 91 Matematiksel Olarak Olabilir?
-
Denklem:
n \cdot [x - (n - 1)] = 91 -
n = 91 için yerine koyalım:
91 \cdot [x - (91 - 1)] = 9191 \cdot [x - 90] = 91x - 90 = 1 \implies x = 91 -
Senaryonun Doğrulaması:
- Grupta 91 çocuk vardır.
- Her bir çocuk başlangıçta 91 fındık toplamıştır.
- Her çocuk, kendisi dışındaki 90 arkadaşına birer fındık atmıştır.
- Her bir çocuğun elinde kalan fındık sayısı: 91 - 90 = 1 adettir.
- Çocukların ellerinde kalan toplam fındık: 91 \times 1 = 91 adettir.
Hiçbir mantıksal veya matematiksel çelişki oluşmaz; dolayısıyla teorik çözüm kümesinde 91 kesinlikle yer alır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ÖZET ÇÖZÜM KÜMESİ:
Problemin kurgusal ve matematiksel tüm şartlarını sağlayan çocuk sayısı kümesi:
n \in \{7, 13, 91\}
Test sorusunun seçenekleri (6, 7, 8, 9, 10) ile sınırlandırıldığında işaretlenebilecek yegâne değer 7 olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Sınavlarda karşımıza çıkan bu tarz gizli sınır koşulları (uç değer analizleri) içeren başka bir soru kalıbı incelemek ister misin?