Problem: B ve A Torbasındaki Topların Sayılarının Oranı

YKS TYT
1

IMG_20260201_140427
IMG_20260201_140427720×960 37.1 KB

2

Problem: B ve A Torbasındaki Topların Sayılarının Oranı

Önemli Noktalar

  • A torbasındaki topların %80’i beyaz, B torbasındaki topların %40’ı beyazdır
  • İki torbadaki toplam topların %48’i beyazdır
  • Sorulan: B torbasındaki toplam top sayısının, A torbasındaki toplam top sayısına oranı

İki torbada bulunan topların beyaz oranları ve toplam beyaz oranı verildiğinde, torbadaki toplam sayılar arasındaki oran denklemi kurularak bulunabilir.

İçindekiler

  1. Verilerin Analizi ve Bilinmeyenlerin Tanımlanması
  2. Denklemin Çözümü
  3. Özet ve Sonuç
  4. Sık Sorulan Sorular

Verilerin Analizi ve Bilinmeyenlerin Tanımlanması

  • A torbasındaki toplam top sayısına x diyelim
  • B torbasındaki toplam top sayısına y diyelim
  • A torbasında beyaz top sayısı = %80 * x = 0.8x
  • B torbasında beyaz top sayısı = %40 * y = 0.4y
  • Toplam beyaz top sayısı = %48 * (x + y) = 0.48(x + y)

Bu durumda beyazların toplam denklemi:

0.8x + 0.4y = 0.48(x + y)

Denklemin Çözümü

Denklemi açalım:

0.8x + 0.4y = 0.48x + 0.48y

Her iki tarafı sadeleştir:

0.8x - 0.48x = 0.48y - 0.4y
0.32x = 0.08y

Oran olarak düzenleyelim:

\frac{y}{x} = \frac{0.32}{0.08} = 4

Yani,
B torbasındaki toplam top sayısı, A torbasındaki toplam top sayısının 4 katıdır.

Özet Tablo

Unsur Değer / Oran
A torbasındaki beyaz top oranı %80
B torbasındaki beyaz top oranı %40
İki torbadaki toplam beyaz oranı %48
B toplam / A toplam top sayısı oranı 4

Sık Sorulan Sorular

1. Beyaz topların oranlarını kullanarak toplam top oranı nasıl bulunur?
Toplam beyaz topları A ve B torbalarındaki beyaz topların toplanması ile hesaplanır, tüm toplardaki beyaz oranı ise toplam beyaz top sayısının toplam top sayısına bölünmesiyle bulunur.

2. Neden oran kurmak problem çözmede kolaylık sağlar?
Oranlar, bilinmeyen değerlerin ilişkilendirilmesini sağlar ve doğrudan istenen büyüklüğe odaklanmayı kolaylaştırır.

3. A torbasındaki topların sayısı verilmeden nasıl oran bulundu?
Bilinmeyenler x ve y olarak tanımlanıp verilen beyazlık oranları kullanılarak denklem kurulur, bilinmeyenler birbirine bağlı oranda ifade edilir.

Sonraki Adımlar

Benzer oran problemlerini daha hızlı çözmek ister misiniz? Yoksa farklı torba veya karışım problemlerinde ağırlık ve oran hesaplamaları üzerine detaylı örnekler görmek ister misiniz?

@Vedat4

3

Resimli Soruların (14, 15 ve 16) Çözümleri

Önemli Noktalar

  • Yüzde zam problemlerinde sabit bütçeyle alınan miktar ters orantılı değişir.
  • Karışım problemlerinde toplam oran, alt toplamların ağırlıklı ortalamasıyla bulunur.
  • Oran korunumu şartı eklenen öğelerin de başlangıçtaki orana uygun olması durumunda, grup büyüklüğü belirli katlarla artabilir.

Kısa Cevaplar

  1. soruda araç, %20 zam sonrası 300 km yol gider.
  2. soruda B/A oranı 4 olur.
  3. soruda başlangıçtaki öğrenci sayısı 5’in katı; en küçük pozitif değer 5’tir.

İçindekiler

  1. 14. Soru – Benzin Problemi
  2. 15. Soru – Karışım Problemi
  3. 16. Soru – Oran Korunumu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. 14. Soru – Benzin Problemi

Soru: Bir otomobil A liralık benzin ile 360 km yol gidebilmektedir. Benzin %20 zamlandıktan sonra bu otomobil A liralık benzin ile kaç km yol gidebilir?

Çözümün Temeli

  • Başlangıçta A liralık benzinin miktarı \dfrac{A}{f} litre ise;
  • Zam sonrası fiyat 1{,}2\,f olduğundan, A liraya alınan benzin miktarı \dfrac{A}{1{,}2f}=\dfrac{1}{1{,}2}\cdot\dfrac{A}{f}=\dfrac{5}{6}\cdot\Bigl(\dfrac{A}{f}\Bigr) olur.
  • Menzil de aynı oranda azalır:
\text{Yeni menzil} =360\;\text{km}\times\dfrac{5}{6} =300\;\text{km}.

2. 15. Soru – Karışım Problemi

Soru: A torbasındaki topların %80’i beyaz, B torbasındaki topların %40’ı beyazdır. İki torbadaki tüm topların %48’i beyaz ise, B torbasındaki topların sayısının A torbasındakine oranı nedir?

Çözüm Adımları

  • A torbası toplarının sayısını x, B torbası toplarını y kabul edelim.
  • Beyaz sayı: 0{,}8x + 0{,}4y.
  • Toplam: x + y.
  • Oran:
\frac{0{,}8x + 0{,}4y}{x+y}=0{,}48 \;\;\Longrightarrow\;\; 0{,}8x+0{,}4y=0{,}48x+0{,}48y
0{,}32x = 0{,}08y \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{y}{x}=\frac{0{,}32}{0{,}08}=4.

3. 16. Soru – Oran Korunumu

Soru: Bir grupta öğrencilerin %40’ı kızdır. Bu gruba 4 kız ve 6 erkek öğrenci katıldığında da kız ve erkek yüzdeleri değişmiyorsa, başlangıçtaki öğrenci sayısını bulunuz.

Çözüm Notları

  • Başlangıç: Toplam T, kız sayısı 0{,}4T, erkek sayısı 0{,}6T.
  • Eklendiğinde: kız 0{,}4T+4, erkek 0{,}6T+6, toplam T+10.
  • Yeni oran:
\frac{0{,}4T+4}{T+10}=0{,}4 \;\Longrightarrow\; 0{,}4T+4=0{,}4T+4 \quad(\text{her }T\text{ için geçerli})
  • Tek koşul: 0{,}4T tam sayı olmalı \Rightarrow T bölünebilir 5’e.
  • En küçük pozitif tam değer $T=5$’tir.
  • Genel çözüm T=5k,\;k\in\mathbb{N}.

4. Özet Tablosu

Soru No Konu Sonuç
14 %20 zam & menzil 300 km
15 Karışım oranı y/x=4
16 Oran korunumu T=5k (min: 5)

5. SSS

S1: Benzin fiyatındaki yüzde zam problemlerini genel olarak nasıl çözebilirim?
C1: “Sabit bütçe” ve “fiyat artışı” ters orantılıdır; yeni miktarı eski miktarın $\frac{1}{1+\Delta%}$’si olarak alıp menzili o orana çarparsınız.

S2: Karışım problemlerinde toplam oran formülü nedir?
C2: Alt gruplardaki istenen nitelikli öğe sayısını toplam öğe sayısına böler, çıkan sonucu yüzdeye çevirirsiniz.

S3: Oran korunumu şartı ne zaman sağlanır?
C3: Eklenen öğeler, başlangıç oranıyla aynı orana sahipse toplam grup yüzdeleri değişmez.

Başka hangi yüzde problemlerinde takıldınız? @Vedat4