Pozitif Terimli Aritmetik Dizi Sorusu Çözümü

YKS TYT
1

Tüm terimleri birer pozitif tam sayt olan a, aritmetik
dizisi için
aa
=12
eşitlikleri sağfanyyor.
A) 18
46-11
Buna göre a - a farkı kactır?
B) 24
C) 30
D) 36
E) 4

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 39.4 KB

2

Pozitif Terimli Aritmetik Dizi Sorusu Çözümü

Görseldeki ve metindeki verilere göre, bir (a_n) aritmetik dizisi için şu bilgiler verilmiş:

  • a_{a_3} = 12
  • a_{a_6} = 60
  • Dizinin tüm terimleri pozitif tam sayıdır.
  • Soru: a_{11} - a_5 farkı kaçtır?

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]
Aritmetik dizilerde genel terim formülü: a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
İki terim arasındaki fark formülü: a_n - a_m = (n - m) \cdot d

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Ortak Farkı (d) Bulma
Aritmetik dizilerde terimler arasındaki fark, indisler farkı ile ortak farkın çarpımına eşittir. Verilen iki bileşke terimi kullanarak şu denklemi kurabiliriz:

a_{a_6} - a_{a_3} = (a_6 - a_3) \cdot d

Verilen değerleri yerine koyalım:

60 - 12 = (a_6 - a_3) \cdot d
48 = (a_6 - a_3) \cdot d

Adım 2 — a_6 - a_3 İfadesini Açma
Aynı kurala göre a_6 - a_3 = (6 - 3) \cdot d = 3d olur. Bu ifadeyi yukarıdaki denklemde yerine yazalım:

48 = (3d) \cdot d
48 = 3d^2
d^2 = 16

$$d = 4$$ (Terimler pozitif tam sayı olduğu için d pozitif olmalıdır.)

Adım 3 — İstenen Farkı (a_{11} - a_5) Hesaplama
Soru bizden a_{11} - a_5 değerini istiyor. Aritmetik dizi kuralını tekrar uygulayalım:

a_{11} - a_5 = (11 - 5) \cdot d
a_{11} - a_5 = 6 \cdot d

d = 4 olduğunu bulmuştuk, yerine yazalım:

6 \cdot 4 = 24

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 24 (B seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Aritmetik Dizi

  • [Tanım:] Ardışık terimleri arasındaki farkı sabit olan dizilerdir.
  • [Bu problemde:] Ortak farkın (d) karesini bulmak için terimlerin indislerini yine dizi terimleri cinsinden kullandık.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Yanlış İndis Kullanımı

  • [Yanlış:] a_{a_3} ifadesini a_a \cdot 3 veya sadece a_3 gibi düşünmek.
  • [Doğru:] a_{a_3}, dizinin a_3. terimindeki değeri indis olarak kabul eden terimdir.
  • [Neden yanlış:] Bu bir fonksiyon bileşkesi gibidir; önce içteki indis değerini bulup sonra ana dizide o sıradaki terime bakılır.

Bu çözüm yoluyla ilgili aklına takılan veya benzer mantıkta başka bir dizi sorusu çözmemi ister misin?