Pozitif Tam Sayılı Aritmetik Dizi Sorusu Çözümü

Maths Question
1
  1. Tüm terimleri birer pozitif tam sayı olan a, aritmetik-
    dizisi için
    2r
    sa (aitir
    2a, 1 12
    hai Sat 2
    aa 60
    2 r6
    eşitlikleri sağlanıyor.
    Buna göre a,
    A) 18
    a, farkı kaçtır?
    B) 24
    C) 30
    S6+ Sai
    D) 36
    E) 42

Soru Görseli
Soru Görseli1024×492 127 KB

2

Pozitif Tam Sayılı Aritmetik Dizi Sorusu Çözümü

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]
Aritmetik dizide genel terim formülü: a_n = a_1 + (n-1) \cdot r
İki terim arasındaki fark: a_n - a_k = (n-k) \cdot r

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Verilen Eşitliklerin Genel Formül Cinsinden Yazılması
Soruda bize a_{a_3} = 12 ve a_{a_6} = 60 bilgileri verilmiş. Aritmetik dizi formülünü bu “bileşke” terimlere uygulayalım:

  1. a_{a_3} = a_1 + (a_3 - 1) \cdot r = 12
  2. a_{a_6} = a_1 + (a_6 - 1) \cdot r = 60

Burada a_3 = a_1 + 2r ve a_6 = a_1 + 5r olduğunu biliyoruz.

Adım 2 — Ortak Farkın (r) Bulunması
İki denklem arasındaki farkı alarak r değerine ulaşalım:
a_{a_6} - a_{a_3} = 60 - 12 = 48
(a_1 + (a_6-1)r) - (a_1 + (a_3-1)r) = 48
(a_6 - a_3) \cdot r = 48

a_6 - a_3 ifadesinin 3r olduğunu bildiğimiz için yerine yazalım:
(3r) \cdot r = 48 \implies 3r^2 = 48 \implies r^2 = 16
Tüm terimler pozitif tam sayı dendiği için ortak fark pozitif olmalıdır:
r = 4

Adım 3 — a_{11} - a_5 Farkının Hesaplanması
Bizden istenen a_{11} - a_5 farkı, aritmetik dizi özelliğine göre terim indisleri farkı ile ortak farkın çarpımına eşittir:
a_{11} - a_5 = (11 - 5) \cdot r
a_{11} - a_5 = 6 \cdot r

r = 4 değerini yerine koyduğumuzda:
6 \times 4 = 24

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 24 (B Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Aritmetik Dizi

  • [Tanım:] Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizilerdir.
  • [Bu problemde:] Ortak farkın karesi üzerinden işlem yapılarak dizinin artış hızı (r) bulunmuştur.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: İndis Karışıklığı

  • [Yanlış:] a_{a_3} ifadesini direkt a_3 gibi düşünmek.
  • [Doğru:] a_{a_3} ifadesi, dizinin a_3. terimini indis olarak kabul eden terimdir.
  • [Neden yanlış:] Bu bir bileşke fonksiyon mantığıdır, indislerin içindeki değerler değişkenlik gösterir.

Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir aritmetik dizi sorusu hazırlamamı ister misin?