Pozitif tam sayı bulma

YKS TYT
1

17476751708414816939491433645668
17476751708414816939491433645668720×960 27 KB

2

Soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim. Verilen ifadeler:

\frac{a}{b}, \frac{b}{a} \text{ ve } \sqrt{a + b + 7}

Bu ifadelerin pozitif tam sayı olduğunu belirtiyor. a ve b sıfırdan farklı gerçek sayılar.

1. Adım: Pozitif tam sayı koşulları

İlk olarak verilen ifadelerin pozitif tam sayı olması için uygun değerler bulmalıyız:

  • $$ \frac{a}{b} $$ ve $$ \frac{b}{a} $$ ifadelerinin pozitif tam sayı olması, a ve b’nin birbirlerinin bir tam sayı katı olması gerektiğini gösterir.
  • $$ \sqrt{a + b + 7} $$ ifadesinin pozitif tam sayı olması için a + b + 7 bir tam kare olmalıdır.

2. Adım: Deneme ve çözüm

Şimdi ifadeleri inceleyerek minimum a + b değerini bulalım.

İfade: $$ \frac{a}{b} \text{ ve } \frac{b}{a} $$

Bu iki ifadenin pozitif tam sayı olabilmesi için örneğin:

  • $$ a = 2 $$ ve $$ b = 1 $$
  • $$ a = 4 $$ ve $$ b = 2 $$ gibi değerler deneyebiliriz. Sonuçların tam sayı olması koşulunu sağlayacak değerleri bulmalıyız.

İfade: $$ \sqrt{a + b + 7} $$

Bu ifadenin pozitif tam sayı olması için:

a + b + 7 = n^2 \quad (n \text{ bir tam sayı})

olmalıdır.

Minimum Değer Hesabı

  • Örneğin, $$ a = 2, b = 1 $$ seçelim:
    • $$ a + b = 2 + 1 = 3 $$
    • $$ a + b + 7 = 3 + 7 = 10 $$. Ancak, 10 bir tam kare değildir.

Başka bir deneme yapalım:

  • a = 4, b = 5 alalım:
    • $$ a + b = 4 + 5 = 9 $$
    • $$ a + b + 7 = 9 + 7 = 16 $$ (16 bir tam kare olduğundan, uygun).

Bu durumda:
$$ a + b \text{ için en küçük değer } 9 \text{'dur.} $$

Cevap:

E) 9

Özet Çözüm Tablosu:

a değeri b değeri a + b a + b + 7 Sonuç
2 1 3 10 Tam kare değil
4 5 9 16 Uygun, tam kare

Eğer başka bir deneme yapmak isterseniz veya ek sorularınız olursa, memnuniyetle yardımcı olurum! @serap_gundogan

3

a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
(a/b + b/a) ve √(a + b + 7)
ifadeleri pozitif tam sayı belirtmektedir. Buna göre, a + b toplamının en küçük değeri kaçtır?

Cevap:

İçindekiler

  1. Problem Ön Bilgileri
  2. İstenen Koşullar ve Tanımlar
  3. Pozitif Tam Sayı Şartlarının İncelenmesi
    1. (a/b + b/a) İfadesinin Pozitif Tam Sayı Olması
    2. √(a + b + 7) İfadesinin Pozitif Tam Sayı Olması
  4. Adım Adım Çözüm Stratejisi
  5. Örnek Değer Atama ve Kontrol
  6. Çözümün Ayrıntılı Açıklaması
  7. Özet Tablo
  8. Sonuç ve Kısa Özet

1. Problem Ön Bilgileri

Bu problemde, a ve b gibi sıfırdan farklı gerçel sayılar üzerine iki önemli koşul tanımlanmıştır:

  1. (a/b + b/a) bir pozitif tam sayıdır.
  2. √(a + b + 7) bir pozitif tam sayıdır.

Bu iki ifade, matematikte aynı anda geçerli olacak şekilde a ve b’yi seçmemizi ister. Nihai hedefimiz, a + b toplamının hangi değeri alabildiğini ve bu değerin en küçük kaç olduğunu bulmaktır.

2. İstenen Koşullar ve Tanımlar

Aşağıdakiler, problemde geçen ifadeleri ve temel kavramları kısaca tanımlar:

  • a/b + b/a: İki sayının birbirine oranının toplamı.
  • √(a + b + 7): Toplamın 7 fazlasının karekökü.
  • Pozitif Tam Sayı: Doğal sayılar kümesindeki (1, 2, 3, …) sayıları ifade eder. Burada 0 veya negatif bir değer olmamalıdır.

Problem şu maddeleri zorunlu kılar:

  1. a ve b sıfır değildir (dolayısıyla a/b ve b/a tanımlıdır).
  2. a ve b, (a + b + 7) ifadesini en az 1’in karesi şeklinde değerlendirebilmeye imkân verecek derecede büyük veya küçük olabilirler ancak karekökün sonucu mutlaka 1,2,3,… gibi pozitif tam sayı olacak şekilde ayarlanmalıdır.
  3. a/b + b/a >= 2 ya da <= -2 şeklinde genel bir ifade olmakla birlikte pozitif tam sayı istendiği için özellikle bu değerin 2, 3, 4 gibi pozitif bir tam sayı olması gerekir. Ek olarak ifadenin pozitif çıkması için a/b + b/a > 0 olması gerekir ki bu da a ile b’nin çarpımının pozitif olduğunu (yani işaretlerinin aynı olduğunu) gösterir.

3. Pozitif Tam Sayı Şartlarının İncelenmesi

3.1. (a/b + b/a) İfadesinin Pozitif Tam Sayı Olması

(a/b + b/a) ifadesi şu şekilde yeniden yazılabilir:

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}.

Bu değerin pozitif olabilmesi için ab > 0 olması gerekir. Yani:

  • a ve b aynı işaretli (ikisi de pozitif veya ikisi de negatif).

Ayrıca \frac{a^2 + b^2}{ab} ‘in bir tam sayı olması için a ve b’nin değerleri, bu kesri bir tam sayı yapmaya uygun olmalıdır. a^2 + b^2 en küçük değerdeyken bile (a = b durumunda) payda ve pay orantılı gelir. Özellikle a = b olduğunda:

\frac{a^2 + a^2}{a \cdot a} = \frac{2a^2}{a^2} = 2.

Dolayısıyla ifade en küçük 2 değerine inebilir ve bu 2 tam sayıdır. Bu, genellikle beklenen en küçük pozitif tam sayı değeridir. Daha büyük değerler de (3, 4, …) mümkündür ancak problemde minimum a + b istendiğinden, mantıksal olarak genellikle ifadenin en küçük pozitif tam sayı değeri olan 2’yi sağlamak yeterli olur.

3.2. √(a + b + 7) İfadesinin Pozitif Tam Sayı Olması

Karekök içindeki a + b + 7 değeri, bir pozitif tam sayının karesi olmak zorundadır. Başka bir deyişle;

a + b + 7 = k^2

şeklinde yazılabilmelidir. Burada k pozitif bir tam sayıdır (k = 1, 2, 3, …).

Yani:

a + b = k^2 - 7.

Bu değeri minimum yapan senaryoyu arıyoruz. Karekök ifadesi pozitif tam sayı dediği için $k \geq 1$’dir. Eğer k = 1 olursa, a + b = 1^2 - 7 = -6 gibi bir değer elde edilir. Daha büyük k ler için a + b değeri artar (k=2 => 4 - 7 = -3; k=3 => 9 - 7 = 2; vb.). O hâlde, en küçük değeri bulurken k=1 seçeceğimiz ilk adaydır.

4. Adım Adım Çözüm Stratejisi

  1. Karekök Koşulu (√(a + b + 7))

    • En küçük k ile başlayarak a + b = k^2 - 7 ifadesini not edin. k=1 durumunu deneyin (a + b = -6).

  2. Oran Koşulu (a/b + b/a)

    • a + b ve ab değerlerini kullanarak \frac{a^2 + b^2}{ab} ‘nın pozitif tam sayı olup olmadığını inceleyin.
    • a + b sabit olduğunda, a ve b’yi otomatik belirlemenin en kolay yolu, a ve b’nin kökler olduğu bir denklem kurmaktır:
      x^2 - (a+b)x + ab = 0.
      Burada S = a + b ve P = ab olarak not edilir.

  3. İşaret Uyumu

    • Ifade pozitif olması için ab>0 gerektiğini unutmayın.

  4. En Küçük Değerin Seçilmesi

    • Seçtiğiniz k’nın getirdiği a + b = k^2 - 7 değeriyle (a/b + b/a) ifadesinin bir pozitif tam sayı olduğunu test edin. Uygunsa, bu sizin aradığınız minimumdur. Uygun değilse, bir sonraki k değerine geçin.

5. Örnek Değer Atama ve Kontrol

Adım 1: k = 1

  • a + b + 7 = 1^2 = 1 => a + b = -6.
  • Bu durumda S = -6.

a ve b negatif sayılar olmak zorundadır ki ab pozitif olsun (ikisi de negatifse çarpımları pozitiftir). O hâlde a + b = -6 ve ab = P (pozitif) varsayalım.

(a/b + b/a)’nın minimum değerini hedefliyorsak tipik en küçük tam sayı değeri 2’dir. Yani

\frac{a^2 + b^2}{ab} = 2.

Ek olarak, a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = S^2 - 2P formülünü kullanabiliriz:

S^2 - 2P = 2\,P \quad \Longrightarrow \quad S^2 = 4P.

Burada S^2 = (-6)^2 = 36 olduğuna göre,

36 = 4P \quad \Longrightarrow \quad P = 9.

Dolayısıyla ab = 9 ve a + b = -6 eş zamanlı sağlanmalıdır. Bu iki değeri sağlayan (a, b) negatif sayılar bulmak için:

x^2 - (a+b)x + ab = 0 \quad \Longrightarrow \quad x^2 + 6x + 9 = 0.

Denklemin kökleri (x+3)^2=0 şeklinde olup, tek kök $x=-3$’tür. Bu bize a=b=-3 ‘ü verir. Sonuçları kontrol edelim:

  1. (a/b + b/a) = (-3)/(-3) + (-3)/(-3) = 1 + 1 = 2, pozitif tam sayı.
  2. √(a + b + 7) = \sqrt{-6 + 7} = \sqrt{1} = 1, pozitif tam sayı.

Her iki koşul da sağlanmaktadır. a + b = -6 bu senaryo için geçerlidir ve problemde “en küçük değer”i aradığımız için seçeneklere bakılırsa -6 uygun cevaptır.

Böylece k=1 durumunda gayet makul ve yeterli bir çözüm bulunmuştur; daha küçük a+b değeri istesek bile k=0 veya negatif k mümkün değildir çünkü karekök ifadesi pozitif tam sayı olmalıdır (0 veya negatif bir sayı “pozitif tam sayı” sayılmaz).

6. Çözümün Ayrıntılı Açıklaması

  1. Problemdeki Koşullar

    • \sqrt{a + b + 7} ‘nin pozitif tam sayı olması => a + b + 7 = k^2 => S = a + b = k^2 - 7.
    • \frac{a^2 + b^2}{ab} pozitif tam sayı => ab>0 ve kesir tam sayı => özellikle en küçük değer olarak 2’yi almak sıklıkla çözümün kilididir.

  2. En Küçük k Değeri Seçimi

    • k=1 => a + b = -6. Bu, $S=-6$’yı verir.

  3. (a/b + b/a) = 2 Olacak Şekilde

    • (a/b + b/a) = 2 => \frac{a^2 + b^2}{ab}=2 => a^2 + b^2 = 2ab.
    • Aynı zamanda, a + b = S=-6 ve ab>0 (yani a ile b aynı işaretli olup negatif).

  4. a + b = -6, ab = ?

    • a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (-6)^2 - 2ab = 36 - 2ab.
    • Bu, 2ab’ye eşit => 36 - 2ab = 2ab => 36 = 4ab => ab=9.

  5. Köklerin Bulunması

    • x^2 - (a+b)x + ab = 0 => x^2 + 6x + 9= 0.
    • Çözüm => (x+3)^2=0 => x=-3. Böylece a=-3, b=-3.

  6. Kontroller

    • a/b + b/a = (-3)/(-3) + (-3)/(-3) = 1 +1=2 (pozitif tam sayı).
    • \sqrt{-6 + 7} = \sqrt{1} = 1 (pozitif tam sayı).

Dolayısıyla a + b = -6 istenen tüm koşulları sağlayan en küçük değerdir.

7. Özet Tablo

Koşul Uygulama Sonuç
1. a + b + 7 = k^2 k=1 \implies a+b=-6 Düşük k ile başla, k=1 uygun
2. \frac{a^2 + b^2}{ab} = 2 ab>0 \implies (a+b)^2 - 2ab = 2ab 36 - 2ab = 2ab \implies ab=9
3. a+b=-6, \; ab=9 Denklem: x^2 + 6x + 9=0 x=-3 (çift kök), dolayısıyla a=b=-3
4. Kontrol: (a/b + b/a) 1 + 1 = 2 (pozitif tam sayı) Uygun
5. Kontrol: \sqrt{a+b+7} \sqrt{-6+7}=\sqrt{1}=1 (pozitif tam sayı) Uygun
En Küçük a+b -6

8. Sonuç ve Kısa Özet

Problemin tüm koşullarını karşılayan en küçük a + b değeri -6 bulunmuştur. Bunu sağlayan örnek değerler a = -3 ve b = -3 şeklindedir. Kontrol ettiğimizde:

  • a/b + b/a = 2, ki bu pozitif tam sayıdır.
  • √(a + b + 7) = √1 = 1, ki bu da pozitif tam sayıdır.

Seçeneklere bakıldığında, -7 ‘de karekök ifadesi 0 olurdu (pozitif tam sayı değil), -3 veya 2, 9 gibi değerler de mümkündür ancak o noktalarda toplamın daha büyük bir değere karşılık geldiği görülür. Soru özel olarak en küçük değeri istediğinden cevap -6 olmaktadır.

Cevap:
a + b toplamının en küçük değeri -6’dır.

@serap_gundogan

4

a ve b sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere,

  1. (a^b) / (b^a) ifadesi pozitif tam sayı belirtmektedir.
  2. √(a + b + 7) ifadesi de pozitif tam sayı belirtmektedir.

Bu koşulları sağlayacak şekilde a + b toplamının en küçük değerini bulmak istiyoruz.

Table of Contents

  1. Koşulları İnceleme
  2. √(a + b + 7) Pozitif Tam Sayı Olma Koşulu
  3. (a^b) / (b^a) Pozitif Tam Sayı Olma Koşulu
  4. Olası Değerleri Deneme ve En Küçük Toplamı Bulma
  5. Özet Tablo
  6. Sonuç

1. Koşulları İnceleme

Verilen iki koşulu aynı anda sağlamamız gerekiyor:

  • (a^b) / (b^a) = pozitif tam sayı
  • a + b + 7 ifadesinin karekökü de pozitif tam sayı

a ve b’nin 0’dan farklı oluşu, özellikle üs alma işleminin geçerli (gerçek sayı) sonuçlar vermesi bakımından önemlidir. Genelde taban negatif ise üstel işlemi rasyonel ya da irrasyonel durumlara göre tanımsız veya karmaşık sayı olabilir. Bu nedenle pratikte çoğu zaman a ve b’nin pozitif seçilmesi işimizi kolaylaştırır.

2. √(a + b + 7) Pozitif Tam Sayı Olma Koşulu

√(a + b + 7) bir pozitif tam sayı ise (a + b + 7) değeri pozitif tam kare olmalıdır.
Yani, (a + b + 7) = k² şeklinde bir tam sayı k² (k > 0) olur.

3. (a^b) / (b^a) Pozitif Tam Sayı Olma Koşulu

(a^b) / (b^a) ifadesinin en kolay tam sayı olduğu durum, en basit “taban” ve “üs” seçimlerinde ortaya çıkar. Örneğin a = 1 ve b = 1 seçilirse:

  • a^b = 1^1 = 1
  • b^a = 1^1 = 1
    Dolayısıyla (1^1) / (1^1) = 1, ki bu pozitif tam sayıdır.
    Bu ikili, aynı zamanda a + b = 2 değerini verir.

4. Olası Değerleri Deneme ve En Küçük Toplamı Bulma

Seçeneklerde a + b, -7, -6, -3, 2, 9 gibi değerler alabileceği belirtilmekte.

• a + b = -7 ⇒ a + b + 7 = 0 ⇒ √(0) = 0 (pozitif değil; istenen koşulu sağlamaz).
• a + b = -6 ⇒ a + b + 7 = 1 ⇒ √(1) = 1 (pozitif tam sayı). Ancak a+b=-6 iken (a^b) / (b^a) ifadesinin “gerçek ve pozitif tam sayı” olarak tutarlı bir çözüm bulması çok zor (negatif taban üstü işlemleri karmaşık sonuçlar verir). Tam sayı veya makul rasyonel biri bulunsa bile bu değerlerin pozitif tam sayı oluşturma ihtimali düşük.
• a + b = -3 ⇒ a + b + 7 = 4 ⇒ √(4) = 2 (pozitif tam sayı). Fakat benzer şekilde a + b = -3 iken a ve b’den en az biri negatif olacak; (a^b)/(b^a) ‘nın pozitif tam sayı çıkmasını sağlamak yine zorlu ve genelde imkansız.
• a + b = 2 ⇒ a + b + 7 = 9 ⇒ √(9) = 3 (pozitif tam sayı). a = 1, b = 1 seçerek:

  • (1^1)/(1^1) = 1 (pozitif tam sayı).
    Bu koşullar eksiksiz sağlanmış olur.
    • a + b = 9 vb. daha büyük değerler de elbette mümkün, ama biz “en küçük değeri” aradığımız için 2, geçerli ve en düşük çözümdür.

5. Özet Tablo

a + b Değeri a + b + 7 √(a + b + 7) (a^b)/(b^a) Pozitif Tam Yapma İmkânı? Geçerli mi?
-7 0 0 (pozitif değil) Koşul sağlanamaz Hayır
-6 1 1 Negatif taban üslü ifade sorunlu (tam çıkması zor) Uygun değil
-3 4 2 Yine negatif/pozitif taban karışık Uygun değil
2 9 3 Uygun (örnek: a=1, b=1) Evet
9 16 4 Mümkün, ama en küçük değeri arıyoruz Evet fakat daha büyük

6. Sonuç

Bu durumda a + b toplamının en küçük değeri 2’dir.

Cevap: 2 (D)

@serap_gundogan