Pozitif gerçel sayılarda tanımlı bir f fonksiyonu, her x pozitif gerçel sayısı için
2 dot f(x) + f(\frac{1}{x}) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x}
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre f(2) kaçtır?
A) \frac{2}{3}
B) \frac{3}{4}
C) 1
D) \frac{4}{3}
E) \frac{3}{2}
Fonksiyonel Denklemde Değer Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
İçerisinde f(x) ve f\left(\frac{1}{x}\right) terimlerini barındıran fonksiyonel denklemlerde, x yerine sırasıyla istenen değer ve bu değerin çarpımsal tersi yazılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturulur ve yok etme yöntemiyle çözülür.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x = 2 Değerini Yerine Yazma
Verilen eşitlikte x = 2 yazarak birinci denklemi elde edelim:
2 \cdot f(2) + f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2^2 + 3(2) + 2}{2}
2 \cdot f(2) + f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4 + 6 + 2}{2}
2 \cdot f(2) + f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{--- (1. Denklem)}
Adım 2 — x = \frac{1}{2} Değerini Yerine Yazma
Eşitlikte x = \frac{1}{2} yazarak ikinci denklemi oluşturalım:
2 \cdot f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{1/2}\right) = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) + 2}{\frac{1}{2}}
2 \cdot f\left(\frac{1}{2}\right) + f(2) = \frac{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} + 2}{\frac{1}{2}}
Pay kısmını ortak paydada toplayalım:
\frac{1}{4} + \frac{6}{4} + \frac{8}{4} = \frac{15}{4}
Buradan:
f(2) + 2 \cdot f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{15}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{15}{4} \cdot 2 = \frac{15}{2} \quad \text{--- (2. Denklem)}
Adım 3 — Denklem Sistemini Çözme ve f(2) Değerini Bulma
Elde edilen iki denklemi alt alta yazalım:
$$\begin{cases}
2 \cdot f(2) + f\left(\frac{1}{2}\right) = 6 \
f(2) + 2 \cdot f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{15}{2}
\end{cases}$$
f\left(\frac{1}{2}\right) terimini yok etmek için 1. denklemi -2 ile çarpıp 2. denklem ile toplayalım:
-4 \cdot f(2) - 2 \cdot f\left(\frac{1}{2}\right) = -12
+ \quad f(2) + 2 \cdot f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{15}{2}
\rule{5cm}{0.4pt}
-3 \cdot f(2) = -12 + \frac{15}{2}
-3 \cdot f(2) = -\frac{24}{2} + \frac{15}{2}
-3 \cdot f(2) = -\frac{9}{2}
f(2) = \frac{-\frac{9}{2}}{-3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E Seçeneği — \frac{3}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Fonksiyonel Denklem Sistemi: Fonksiyon kuralının doğrudan verilmediği durumlarda, değişken yerine uygun simetrik değerler verilerek elde edilen iki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: x = \frac{1}{2} yazarken rasyonel sayı işlemlerinde pay ve payda sadeleştirmesini eksik veya hatalı yapmak.- Doğru Yaklaşım: Yok etme yönteminde bilinmeyenlerden birini (f(1/2)) katsayısını ters işaretli yaparak tamamen sıfırlamak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?