)16. Pozitif bölen sayısı 5 olan iki basamaklı kaç tane doğal
sayı vardır?
A) 1
B) 2
c)3
D) 4
E) 5
olmak UZere.
Pozitif Bölen Sayısı 5 Olan İki Basamaklı Doğal Sayılar
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir N doğal sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k} ise, pozitif bölen sayısı (a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1) formülü ile bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Pozitif Bölen Sayısı 5 Olma Şartı
Bir sayının pozitif bölen sayısının 5 olması için, bu sayının sadece bir asal çarpanı olmalı ve bu asal çarpanın üssü 4 olmalıdır. Çünkü 5 bir asal sayıdır ve sadece 5 \times 1 şeklinde veya (4+1) şeklinde yazılabilir. Yani, aradığımız sayı p^4 formunda olmalıdır, burada p bir asal sayıdır.
Adım 2 — Asal Sayıları Deneme
Şimdi p^4 formundaki sayıları deneyerek iki basamaklı olanları bulalım:
- Eğer p=2 olursa, sayı 2^4 = 16 olur. 16 iki basamaklı bir doğal sayıdır.
- Eğer p=3 olursa, sayı 3^4 = 81 olur. 81 iki basamaklı bir doğal sayıdır.
- Eğer p=5 olursa, sayı 5^4 = 625 olur. 625 üç basamaklı bir doğal sayı olduğu için bu ve daha büyük asal sayılar ile devam etmeye gerek yoktur.
Adım 3 — İki Basamaklı Sayıları Belirleme
Yukarıdaki denemeler sonucunda pozitif bölen sayısı 5 olan ve iki basamaklı olan doğal sayılar 16 ve 81’dir.
Adım 4 — Seçenek Karşılaştırması
A. 1 — Yanlış. Sayı adedi 1 değildir.
B. 2 — Doğru. 16 ve 81 olmak üzere 2 tane sayı vardır.
C. 3 — Yanlış.
D. 4 — Yanlış.
E. 5 — Yanlış.
Adım 5 — Son Doğrulama
Bulduğumuz sayılar 16 ve 81’dir.
- 16 = 2^4. Pozitif bölen sayısı 4+1=5’tir.
- 81 = 3^4. Pozitif bölen sayısı 4+1=5’tir.
Her iki sayı da iki basamaklıdır ve pozitif bölen sayısı 5’tir. Bu nedenle 2 tane sayı bulunmaktadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Çarpanlara Ayırma
- Tanım: Bir doğal sayıyı, asal sayıların kuvvetleri şeklinde yazma işlemidir. Örneğin, 12 = 2^2 \times 3^1.
- Bu problemde: Sayıların pozitif bölen sayısını bulmak için öncelikle asal çarpanlarına ayrılması gerekmektedir.
2. Pozitif Bölen Sayısı (PBS)
- Tanım: Bir doğal sayının kaç tane pozitif tam böleni olduğunu gösteren sayıdır. Asal çarpanların üslerinin birer artırılarak çarpılmasıyla bulunur.
- Bu problemde: Pozitif bölen sayısı 5 olan sayıların özel bir formatta (p^4) olması gerektiğini belirlemek için kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Pozitif bölen sayısı 5 olmanın yanlış yorumlanması
- Yanlış: Pozitif bölen sayısı 5 olan sayının p^1 \times q^1 \times r^1 \times s^1 (4 farklı asal sayının çarpımı) olduğunu düşünmek.
- Doğru: Pozitif bölen sayısı 5 olan bir sayı, mutlaka tek bir asal sayının 4. kuvveti (p^4) şeklinde olmalıdır. Çünkü 5 bir asal sayı olduğu için (a_1+1)(a_2+1)\ldots=5 eşitliği sadece k=1 ve a_1+1=5 \implies a_1=4 iken sağlanır.
- Neden yanlış: Çarpanları birer artırıp çarptığımızda 5’i elde etmenin tek yolu, tek bir çarpanın 5 olmasıdır. Bu da a+1=5 yani a=4 demektir.
Bu konuyu pekiştirmek için pozitif bölen sayısı 6 olan iki basamaklı kaç tane doğal sayı olduğunu bulmamı ister misin?