Pozitif bir A tam sayısı için
A = A sayısının rakam olan asal bölenlerinin toplamı
biçiminde bir işlem tanımlanıyor.
Buna göre
A = 15
eşitliğini sağlayan üç basamaklı en büyük A sayısının rakamları çarpımı kaçtır?
A) 105
B) 126
C) 144
D) 180
E) 225
Asal Çarpanlar ve Sayı Basamakları Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Rakam olan asal sayılar kümesi \{2, 3, 5, 7\}'dir. Bir sayının rakam olan asal bölenlerinin toplamı 15 ise bu sayının asal çarpanları arasında 3, 5 ve 7 bulunmalı; 2 kesinlikle bulunmamalıdır (3 + 5 + 7 = 15).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Asal Bölenlerin Belirlenmesi
Rakam olan asal sayılar 2, 3, 5 ve 7’dir. Bu sayıların toplamı 2 + 3 + 5 + 7 = 17 olduğundan, toplamın 15 olması yalnızca 2’nin hariç tutulmasıyla mümkündür:
3 + 5 + 7 = 15
Buna göre A sayısı 3, 5 ve 7 ile tam bölünmeli; 2 ile bölünmemelidir (yani A sayısı tek sayı olmalıdır).
Adım 2 — En Büyük Üç Basamaklı A Sayısının Bulunması
A sayısı \text{EKOK}(3, 5, 7) = 3 \times 5 \times 7 = 105 sayısının tek katı olmalıdır (A = 105 \cdot k, k tek sayı):
- k = 9 için: A = 105 \times 9 = 945
- k = 11 için: A = 105 \times 11 = 1155 (dört basamaklı olur)
A = 945 sayısının asal çarpanları 3^3 \times 5 \times 7 olup rakam olan asal bölenleri \{3, 5, 7\}'dir ve koşulu sağlar.
Adım 3 — Rakamları Çarpımının Hesaplanması
En büyük A = 945 sayısının rakamları çarpımı:
9 \times 4 \times 5 = 180
CEVAP: D) 180 (A = 945 sayısının rakamları çarpımı)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: A sayısının çarpanları arasında 2 bulunursa toplam 15 + 2 = 17 olacağından A sayısının çift katları (k = 8 gibi) doğrudan elenmelidir; bu yüzden en büyük kat aranırken yalnızca tek katsayılar denenmelidir.