Cevap:
Soruda verilen problemi inceleyelim:
Soru:
Bir torbada 5 sarı, 6 kırmızı ve 7 mavi bilye bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele seçilen 3 bilyenin farklı renklerde olması ihtimalini hesaplamamız isteniyor.
Problemin Analizi ve Çözümü
Toplam bilye sayısı:
Torbada bulunan bilye sayısı:
Renklerin farklı seçilmesi için şunu ifade edebiliriz:
Bir sarı, bir kırmızı ve bir mavi bilye seçilecek.
Şimdi bu ihtimali aşama aşama hesaplayalım:
1. Farklı renklerde bilye seçme durumu
- Sarı bilye seçimi: 5 taneden 1 bilye seçilebilir.
Bunun kombinasyon ile ifade edilmesi:
- Kırmızı bilye seçimi: 6 taneden 1 bilye seçilebilir.
Bunun kombinasyon ile ifade edilmesi:
- Mavi bilye seçimi: 7 taneden 1 bilye seçilebilir.
Bunun kombinasyon ile ifade edilmesi:
Bu durumda farklı renklerde bilye seçimin toplam kombinasyonları:
2. Toplam seçilebilecek bilye sayısı içinden 3 bilye seçimi
Toplam 18 bilye var. Buradan rastgele 3 bilye seçmek için kombinasyon:
3. İhtimali Hesaplama
Farklı renklerde bilye seçmenin olasılığı:
Hesaplayalım:
Bunu sadeleştirelim:
Sonuç ve Şıklardaki Cevap
Sorunun doğru cevabı: E şıkkı (35/136).
Özet Tablo
| Aşama | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| Sarı bilye seçimi | C(5, 1) = 5 | 5 |
| Kırmızı bilye seçimi | C(6, 1) = 6 | 6 |
| Mavi bilye seçimi | C(7, 1) = 7 | 7 |
| Farklı renklerde seçme | 5 \cdot 6 \cdot 7 = 210 | 210 |
| Toplam seçme | C(18, 3) = 816 | 816 |
| İhtimal | \frac{210}{816} = \frac{35}{136} | 35/136 (E şıkkı) |
Eğer başka sorularınız varsa yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! 
@Songul_Dogan
8. İçinde 5 sarı, 6 kırmızı, 7 mavi bilye bulunan torbadan rastgele alınan 3 bilyenin de renklerinin farklı olma olasılığı kaçtır?
Ayrıca, bir torbada 1’den 8’e kadar (8 dahil) numaralandırılmış kartlar vardır. Rastgele çekilen iki kartın toplamının 10 olma olasılığı nedir?
Table of Contents
1. Soruların Genel İncelemesi
Bu gönderide iki farklı olasılık sorusu bulunmaktadır:
- Bilye Sorusu: Torbada farklı renklerde bilyeler vardır ve 3 bilye çekildiğinde hepsinin farklı renk çıkma olasılığı hesaplanacaktır.
- Kart Sorusu: 1’den 8’e kadar numaralandırılmış kartların içinden 2 kart çekildiğinde, bu iki kartın toplamının 10 olmasıyla ilgili olasılığı bulacağız.
Her iki soruda da temel kombinasyon ve olasılık kuralları kullanılır. Aşağıda, adım adım hem formülleri hem de sonuçları görelim.
2. Bilye Sorusunun Çözümü
Soru: “İçinde 5 sarı, 6 kırmızı, 7 mavi bilye bulunan torbadan rastgele alınan 3 bilyenin de renklerinin farklı olma olasılığı nedir?”
Bu soruda toplam 5 sarı + 6 kırmızı + 7 mavi = 18 bilye mevcuttur. Üç bilye çekildiğinde hepsinin birbirinden farklı renklerde olması isteniyor.
2.1 Adım Adım Çözüm
-
Toplam Bilye Sayısı:
Toplam bilye sayısı
\text{Toplam} = 5 + 6 + 7 = 18 -
Farklı Renklerde 3 Bilye Seçimi:
Her renkten bir bilye alabilmek için kombinasyon mantığıyla:- Sarı bilye seçme yolları: C(5, 1) = 5
- Kırmızı bilye seçme yolları: C(6, 1) = 6
- Mavi bilye seçme yolları: C(7, 1) = 7
Bu renklerin her birinden birer tane seçmek için mümkün olan toplam yol sayısı:
5 \times 6 \times 7 = 210 -
Toplam 3 Bilye Seçim Yöntemi:
Herhangi 3 bilyenin seçilme sayısı, toplam 18 bilyeden 3’ünü seçmekle bulunur:
C(18, 3) = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816 -
Olasılık Hesabı:
Üçünün de farklı renk olması için uygun durum sayısını toplam duruma böleriz:
P(\text{3 farklı renk}) = \frac{210}{816} = \frac{35}{136} -
Sonuç:
Hesapların sadeleştirilmesiyle elde edilen olasılık:
\boxed{\frac{35}{136}}
2.2 Özet Tablo: Bilye Sorusu
| Adım | İşlem | Değer/İfade |
|---|---|---|
| Toplam Bilye | 5 Sarı + 6 Kırmızı + 7 Mavi | 18 |
| Farklı Renk Seçimi (Her renkten 1 tane) | 5 \times 6 \times 7 | 210 |
| Herhangi 3 Bilye Seçimi | C(18,3) | 816 |
| Olasılık | \frac{210}{816}=\frac{35}{136} | 35/136 |
| Nihai Cevap | 35/136 | Seçenekte E |
3. Kart Sorusunun Çözümü
Soru: “Bir torbada 1’den 8’e kadar (8 dahil) numaralandırılmış kartlar vardır. Rastgele çekilen iki kartın toplamının 10 olma olasılığı nedir?”
Bu sefer 8 farklı kart arasından 2 adet kart seçiyoruz. Seçilen 2 kartın toplamının 10’a eşit olması gerekiyor.
3.1 Adım Adım Çözüm
-
Kart Sayısı:
\text{Toplam kart sayısı} = 8 -
Toplam 10’u Sağlayan Kartlar:
1’den 8’e kadar kartlarla 10 olan çiftler:- (2, 8)
- (3, 7)
- (4, 6)
Burada (8, 2), (7, 3), (6, 4) gibi sıra farklılıklarını ayrı kabul etmeye gerek yoktur, çünkü çekilişteki sıralama önemli değilse (2,8) ile (8,2) aynı iki karttır.
Dolayısıyla toplam 3 farklı çift bulunur.
-
Herhangi 2 Kart Seçimi:
8 kart içerisinden 2 kart seçme yolu:
C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 -
Olasılık Hesabı:
Favorable (uygun) durum sayısı 3’tür. Toplam durum sayısı 28’dir.
P(\text{Toplam } 10) = \frac{3}{28} -
Sonuç:
İstenen olasılık:
\boxed{\frac{3}{28}}
3.2 Özet Tablo: Kart Sorusu
| Adım | İşlem | Değer |
|---|---|---|
| Kart Sayısı | 1’den 8’e kadar | 8 |
| Toplam 10 Yapan Kart Çiftleri | (2,8); (3,7); (4,6) | 3 çift |
| Herhangi 2 Kart Seçimi | C(8,2) | 28 |
| Olasılık | \frac{3}{28} | 3/28 |
| Nihai Cevap | 3/28 |
4. Genel Değerlendirme ve Özet
- Bilye Sorusunda, her renkten birer bilye seçebilmek için en uygun yaklaşım, farklı renkli birer bilye seçme yollarına bakmaktır. Toplam olası 3’lü kombinasyon sayısı 816, uygun durum 210’dur. Sonuç olarak olasılık 35/136’dır.
- Kart Sorusunda ise 1’den 8’e kadar kartlardan 2’sinin toplamının 10 yapması için (2,8), (3,7) ve (4,6) gibi toplam 3 başarılı durum vardır. Tüm ikili seçim sayısı 28’dir. Buna göre olasılık 3/28 olmaktadır.
Her iki soru da temelde kombinasyon hesapları ve mantıklı bir sınıflandırma yaklaşımı gerektirir. Basit ama dikkatli adımlarla çözüme ulaşıldığında, her iki sorunun da mantığı açıkça görülür.