38.2a7b ve 3a5b dört basamaklı doğal sayılar olrmak űzere
aşağıda lçinde 2a7b mililitre vişne suyu ve 3a5b militre
portakal suyu olan 2 şişe meyve suyu lle hacimleri mL
cinsinden birer tam sayı olan mavi ve sarı renkli bardaklar
verilmiştir.
Vişne
suyu
2a7b mL
A) 2
Mavi bardaklardan 17 tanesi vişne suyu ile
suyu ile doldurulduğunda şişede kaç mL portakal
Portakal
Buna gõre özdeş sarn bardaklarda 17 tanesi portakal
suyu kalabilir?
B) 4
3a5b mL
C) 6
D) 9
o
E) 13
2a7b ve 3a5b Sayılarının 17 ile Bölümünden Kalan Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir sayının basamak çözümlemesi ve bölme-bölünebilme bağıntısı:
A = B \cdot C + K \quad (0 \le K < B)
A \equiv K \pmod{B}
İki sayının farkının modüler aritmetik özelliği:
(X - Y) \pmod{m} \equiv (X \pmod{m} - Y \pmod{m}) \pmod{m}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Vişne Suyu İçin Bölme Bağıntısının Kurulması
2a7b mililitrelik vişne suyu, hacmi tam sayı olan 17 adet mavi bardağa doldurulduğunda 12\text{ mL} artmaktadır. Mavi bardağın hacmine M dersek:
2a7b = 17 \cdot M + 12
Bu durum, 2a7b sayısının 17 ile bölümünden kalanın 12 olduğunu gösterir:
2a7b \equiv 12 \pmod{17}
Adım 2 — İki Sayının Farkının Hesaplanması
Portakal suyu miktarı olan 3a5b sayısı ile vişne suyu miktarı olan 2a7b sayısını basamak değerlerine göre birbirinden çıkaralım:
3a5b - 2a7b = (3000 + 100a + 50 + b) - (2000 + 100a + 70 + b)
3a5b - 2a7b = 3050 - 2070 = 980
Buradan:
3a5b = 2a7b + 980
Adım 3 — 980 Sayısının 17 ile Bölümünden Kalanın Bulunması
980 sayısını 17’ye bölelim:
980 = 17 \times 57 + 11
Buradan 980 \equiv 11 \pmod{17} bulunur.
Adım 4 — Portakal Suyunun 17 ile Bölümünden Kalanın Hesaplanması
3a5b ifadesinde elde ettiğimiz kalanları yerine yazalım:
3a5b = 2a7b + 980
3a5b \equiv 12 + 11 \pmod{17}
3a5b \equiv 23 \pmod{17}
23 sayısı 17’den büyük olduğu için 17’ye böldüğümüzde kalanı buluruz:
23 = 17 \times 1 + 6
3a5b \equiv 6 \pmod{17}
Dolayısıyla, 17 adet sarı bardak doldurulduğunda şişede 6\text{ mL} portakal suyu kalır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Modüler Aritmetik ve Bölünebilme
- Tanım: Bir bölme işleminde bölünen sayının bölen sayıya göre kalanını inceleyen matematik dalıdır.
- Bu problemde: Bilinmeyen a ve b rakamlarını bulmaya gerek kalmadan, iki sayının farkı alınarak doğrudan kalana ulaşılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
a ve b Rakamlarını Bulmaya Çalışmak
- Yanlış: 2a7b = 17M + 12 eşitliğini sağlayan a ve b değerlerini tek tek denemek.
- Doğru: İki ifadeyi taraf tarafa çıkararak a ve b değişkenlerinden kurtulmak.
- Neden yanlış: a ve b rakamlarını denemek çok fazla zaman kaybettirir; oysa fark alındığında bilinmeyenler sadeleşir.
Benzer bir bölünebilme ve basamak analizi sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?
@Egitim_Danismani Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
2a7b ve 3a5b Meyve Suyu Probleminin Adım Adım Açıklaması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bölme Bağıntısı:\text{Bölünen} = \text{Bölen} \times \text{Bölüm} + \text{Kalan}
- Basamak Çözümlemesi:3a5b = 3000 + 100a + 50 + b2a7b = 2000 + 100a + 70 + b
- Kalanlar Aritmetiği (Modüler Mantık):
Bir toplamın kalanını bulmak için, sayıların ayrı ayrı kalanları toplanıp tekrar bölene bölünür.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Vişne Suyunun Durumunu Anlama
- Vişne suyu miktarı olan 2a7b\text{ mL}, her biri tam sayı hacme sahip 17 bardağa paylaştırıldığında geriye 12\text{ mL} artmaktadır.
- Bu durum bize şunu söyler: 2a7b sayısı 17’ye bölündüğünde kalan 12 olur.
Adım 2 — Bilinmeyen a ve b Harflerinden Kurtulma
Soruda a ve b sayılarının ne olduğunu bulmamıza gerek yoktur. İki şişedeki meyve suyu miktarının farkına bakalım:
3a5b - 2a7b
Sayıları basamaklarına ayıralım:
3a5b = 3000 + 100a + 50 + b
2a7b = 2000 + 100a + 70 + b
Taraf tarafa çıkardığımızda 100a ve b ifadeleri birbirini yok eder:
3a5b - 2a7b = (3000 - 2000) + (50 - 70)
3a5b - 2a7b = 1000 - 20 = 980
Buradan portakal suyunun miktarını vişne suyuna bağlı olarak yazabiliriz:
3a5b = 2a7b + 980
Adım 3 — Aradaki Farkın (980) 17 ile Bölümünden Kalanı Bulma
980’i 17’ye normal bölme işlemi yaparak bölelim:
980 = 17 \times 57 + 11
Yani 980 sayısının 17 ile bölümünden kalan 11’dir.
Adım 4 — Portakal Suyundan Kalan Miktarı Hesaplama
Portakal suyu miktarımız 3a5b = 2a7b + 980 idi:
- 2a7b kısmından gelen kalan: 12
- 980 kısmından gelen kalan: 11
Bu iki kalanı toplayalım:
12 + 11 = 23
Kalan sayı (23), bardak sayısından (17) büyük olamayacağı için 23’ü tekrar 17’ye böleriz:
23 - 17 = 6
Dolayısıyla 17 sarı bardak doldurulduğunda şişede 6\text{ mL} portakal suyu kalır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Basamak Farkı ile Sadeleştirme
- Tanım: Ortak bilinmeyen içeren basamaklı sayıları birbirinden çıkararak bilinmeyenleri yok etme yöntemidir.
- Bu problemde: a ve b rakamlarını ayrı ayrı aramadan aradaki sabit 980 farkı üzerinden sonuca ulaşıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
a ve b Değerlerini Tek Tek Denemek
- Yanlış: 2a7b sayısını 17’ye bölüp 12 kalanı veren a ve b rakamlarını bulmaya çalışmak.
- Doğru: İki sayıyı birbirinden çıkarıp a ve b’yi yok etmek.
- Neden yanlış: a ve b için birden fazla olasılık olabilir ve denemek ciddi bir sınav vakti kaybettirir.
Bu çözümleme ve kalan mantığıyla ilgili takıldığın özel bir adım var mı, yoksa benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?