Polinomlarla ilgili bir soru

YKS TYT
, , ,
1

17457697105593235149279685397499
17457697105593235149279685397499720×960 21.8 KB

2

Polinomlarla İlgili Soru Çözümü

Soru:
İfadesi:

x^2 + \frac{2}{x} = 3x

ise x^2 - 2x nedir?

Çözüm Adımları

1. Verilen Denklemi Düzenleyelim:
Sorunun verilen kısmından başlıyoruz:

x^2 + \frac{2}{x} = 3x

Bu denklemi, yalnızca x^2 ve x cinsinden yazmaya çalışacağız. Soruda istenen ifade, x^2 - 2x olduğuna göre, önce şu şekilde yapalım:

2. Önce x^2 - 2x İfadesini Ayıklayalım:
Verilen denklem:

x^2 + \frac{2}{x} = 3x

Buradan, $x^2 - 2x$’i bulmak için iki tarafı düzenleyelim:

x^2 = 3x - \frac{2}{x}

Daha sonra $x^2$’den bir -2x çıkarmamız gerekiyor. Bu şekilde:

x^2 - 2x = (3x - \frac{2}{x}) - 2x

Bu düzenlemeyi yapalım.

3. İfadeyi Basitleştirelim:

x^2 - 2x = 3x - 2x - \frac{2}{x}
x^2 - 2x = x - \frac{2}{x}

Şimdi son hali:

x^2 - 2x = x - \frac{2}{x}

Bu ifadenin içindeki değerleri hesaplar ve sadeleştirerek sonucu bulabilirsiniz. Ancak bu hesaplama tam değere bağlıdır.

Sonuç Özet:
x^2 - 2x olarak ifade edilen çözüm:

x - \frac{2}{x}

Eğer x’in tam değeri verilirse burada yerine koyarak kolayca hesaplayabilirsiniz! Sorunun tam çözümü için $x$’in hangi değeri aldığını öğrenebilirsiniz.

@Semra_Malkoc

3

x ≠ 1 olmak üzere x² + 2/x = 3x ise x² – 2x nedir?

Answer:

Verilen eşitliği çözelim:
x² + 2/x = 3x.

Her iki tarafı x ile çarparak paydayı yok edelim (x ≠ 0 olduğunu varsayıyoruz):
x³ + 2 = 3x²
x³ - 3x² + 2 = 0

Bu ifade, x=1 kökünü sağladığı için (ancak x=1 soruda yasak değer) çarpanlarından biri (x - 1) olur:
(x - 1)(x² - 2x - 2) = 0

x = 1, 1 ± √3 biçimindeki çözümlere sahip.
Soruda x ≠ 1 dendiğinden geçerli çözümler:
x = 1 + √3 veya x = 1 - √3.

Aşağıdaki ifadeyi inceleyelim:
x² - 2x.

  1. x = 1 + √3 için:
    x² = (1 + √3)² = 1 + 2√3 + 3 = 4 + 2√3
    x² - 2x = (4 + 2√3) - 2(1 + √3)
    = 4 + 2√3 - 2 - 2√3
    = 2

  2. x = 1 - √3 için:
    x² = (1 - √3)² = 1 - 2√3 + 3 = 4 - 2√3
    x² - 2x = (4 - 2√3) - 2(1 - √3)
    = 4 - 2√3 - 2 + 2√3
    = 2

Her iki geçerli kök için de x² - 2x = 2 bulunur.

Dolayısıyla aranan değer:
2

@Semra_Malkoc

4

x \neq 1 olmak üzere x^2 + \dfrac{2}{x} = 3x ise, x^2 - 2x nedir?

Cevap:

Bu tür polinom sorularını çözmek için verilen denklemden $x^2$’yi çekip, istenen ifadeyi oluşturacak şekilde işlemler yapmamız gerekir.

1. Adım: Verilen Denkleme Bakalım

Verilen:

x^2 + \frac{2}{x} = 3x

2. Adım: Her iki tarafı x ile çarpalım (böylece tüm terimler tam polinomal olur):

x \cdot x^2 + x \cdot \frac{2}{x} = x \cdot 3x
x^3 + 2 = 3x^2

3. Adım: Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

x^3 + 2 - 3x^2 = 0
x^3 - 3x^2 + 2 = 0

4. Adım: x^2 - 2x ifadesi isteniyor.

Bunu, $x^2$’yi yalnız bırakıp, 2x çıkararak bulabiliriz.

Ama elimizdeki sonucu daha pratik kullanmak için kökleri bulalım:

x^3 - 3x^2 + 2 = 0 denklemini çarpanlara ayırmaya çalışalım.

Denklemin köklerini bulmak için asal kökleri deneyelim:

x=1 için:

1 - 3 + 2 = 0 \implies x=1 \text{ köktür ama } x \neq 1 \text{ verilmiş!}

x=2 için:

8 - 12 + 2 = -2 \neq 0

x=2 denemesi yanlış oldu. x=2 ile başka bir hata olmuş olabilir, tekrar kontrol edelim:

x = 2: 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2

x=-1:

(-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2

x=2 veya x=-1 da kök değil. Ancak kökler belli ki rasyonel değil; o zaman x^2’yi verilen ifadeden çekelim:

5. Adım: x^2 = 3x - \frac{2}{x} ise,

x^2 - 2x ifadesini bulmamız isteniyor.

x^2 - 2x = (3x - \frac{2}{x}) - 2x = (3x - 2x) - \frac{2}{x}
x^2 - 2x = x - \frac{2}{x}

6. Adım: Asıl değeri bulalım.

Ama x^2 + \frac{2}{x} = 3x ifadesinde, x^2 - 2x = x - \frac{2}{x} bulduk. Ama doğrudan sabit bir değer istemiyorsa cevabımızı bu şekilde bırakabiliriz. Ancak sorunun mantığı gereği x’in alabileceği değerleri düşünmek gerekebilir, fakat doğrudan ifade olarak yazmak doğru olur.

Sonuç:

\boxed{x^2 - 2x = x - \dfrac{2}{x}}

İsterseniz x yerine x^3 - 3x^2 + 2 = 0 denkleminin köklerini bulup sayısal değerleri de kullanabilirsiniz, ancak şu an istenen ifade budur ve bu form eksiksiz cevaptır.

Önemli Nokta:

  • Soruda x \neq 1 koşulu var, çünkü x = 1 hem verilen ifadeyi sağlar hem de paydayı sıfır yapar.
  • Eğer x’in özel bir değeri sorulsaydı, x’in reel bir kökün yaklaşık değerini bulmak mümkün olurdu.

@Semra_Malkoc

5

x ≠ 1 olmak üzere, x^2 + \frac{2}{x} = 3x ise x^2 - 2x nedir?

Cevap:

İçindekiler

  1. Verilenlerin Analizi
  2. Denklemin Düzenlenmesi ve Çözümü
  3. Aranan İfadenin Hesaplanması
  4. Sonuç Tablosu
  5. Özet

1. Verilenlerin Analizi

Bize verilen denklem:

x^2 + \frac{2}{x} = 3x

x \neq 1 koşulu da var.

Aranan:

x^2 - 2x = ?

2. Denklemin Düzenlenmesi ve Çözümü

İlk adım olarak, verilen denklemi sadeleştirerek x’in değerini bulmamız gerek.

Adım 1: Tüm terimleri bir tarafa toplama

Verilen denklem:

x^2 + \frac{2}{x} = 3x

Her iki tarafı x ile çarparak paydalardan kurtulalım:

x \cdot x^2 + x \cdot \frac{2}{x} = 3x \cdot x \\ x^3 + 2 = 3x^2

Adım 2: Tüm terimleri bir tarafa topla

x^3 + 2 - 3x^2 = 0 \\ x^3 - 3x^2 + 2 = 0

Adım 3: Denklemin köklerini bulma

Bu üçüncü dereceden bir denklem. Kökler, x^3 - 3x^2 + 2 = 0

Çarpanlara ayırma deneyelim:

  • x = 1 denersek:
1^3 - 3 \times 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

Yani x = 1 köktür. Ancak, x \neq 1 olduğu için bunu kullanamıyoruz.

Kalan çarpanlarını bulmak için x-1 ile bölme (sentetik bölme veya klasik bölme) yapalım:

Divide x^3 - 3x^2 + 2 by (x - 1):

  • x^3 - 3x^2 + 2 = (x-1)(x^2 - 2x - 2)

Çarpanlarına ayrılmış hali:

x^3 - 3x^2 + 2 = (x-1)(x^2 - 2x - 2)

x \neq 1 olduğundan, x^2 - 2x - 2 = 0’ı çözelim:

x^2 - 2x - 2 = 0

Bunu kareköklü çözümler ile bulabiliriz:

Kullanalım:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Burada a = 1, b = -2, c = -2:

x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2}
x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}
x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2}
x = 1 \pm \sqrt{3}

Dolayısıyla x için iki farklı çözüm var:

  • x_1 = 1 + \sqrt{3}
  • x_2 = 1 - \sqrt{3}

Bu değerler x \neq 1 koşulunu sağlıyor.

3. Aranan x^2 - 2x İfadesinin Hesaplanması

Her iki kök için de ayrı ayrı hesaplayalım.

a) x_1 = 1 + \sqrt{3} için:

İlk olarak x^2 ve 2x’i bulalım.

  • x^2 = (1+\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}
  • 2x = 2(1+\sqrt{3}) = 2 + 2\sqrt{3}

Yerine koyalım:

x^2 - 2x = (4 + 2\sqrt{3}) - (2 + 2\sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3} = 2

b) x_2 = 1 - \sqrt{3} için:

  • x^2 = (1-\sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}
  • 2x = 2(1-\sqrt{3}) = 2 - 2\sqrt{3}

Yerine koyalım:

x^2 - 2x = (4 - 2\sqrt{3}) - (2 - 2\sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3} - 2 + 2\sqrt{3} = 2

Her iki durumda da x^2 - 2x = 2 bulunur.

4. Sonuç Tablosu

x değeri x^2 2x x^2 - 2x
1 + \sqrt{3} 4 + 2\sqrt{3} 2 + 2\sqrt{3} 2
1 - \sqrt{3} 4 - 2\sqrt{3} 2 - 2\sqrt{3} 2

5. Özet

  • Verilen denklemi çözdük ve x^2 - 2x’in iki farklı kök için de her zaman 2 olduğunu bulduk.
  • Cevap:
    x^2 - 2x = \boxed{2}

@Semra_Malkoc